Dada a função. Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a função e descobrir em quais intervalos ela está crescendo ou decrescendo. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas. Então, vamos precisar saber como calcular a derivada de uma função e interpretar o resultado para entender o comportamento crescente ou decrescente da função.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a , ou seja, como a função está mudando em cada ponto.
A função é uma razão de duas funções: o numerador e o denominador . Para derivar isso, usamos a regra do quociente, que diz que se temos uma função , a derivada é:

Passo 3

Vamos identificar e :
Agora, calculamos as derivadas de e :

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Então, a derivada simplificada é:

Passo 5

Agora que temos a derivada , precisamos analisar onde ela é positiva, negativa ou zero para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento.
  • Quando : A função está crescendo.
  • Quando : A função está decrescendo.
  • Quando : Pode ser um ponto de máximo, mínimo ou uma inflexão.

Passo 6

Vamos analisar o sinal de :
  • O denominador é sempre positivo, já que qualquer número ao quadrado é positivo e nunca é zero.
  • O numerador depende do valor de :
    • Se , então .
    • Se , então .
    • Se , então .

Passo 7

Com base nisso:
  • Para : ⇒ A função está crescente.
  • Para : ⇒ A função está decrescente.
  • Em : A derivada é zero, indicando um ponto crítico.

Resposta

A função é:
  • Crescente no intervalo .
  • Decrescente no intervalo .

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