Dada a função.
Encontre os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a função
e descobrir em quais intervalos ela está crescendo ou decrescendo. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas. Então, vamos precisar saber como calcular a derivada de uma função e interpretar o resultado para entender o comportamento crescente ou decrescente da função.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a
, ou seja, como a função está mudando em cada ponto.
A função é uma razão de duas funções: o numerador
e o denominador
. Para derivar isso, usamos a regra do quociente, que diz que se temos uma função
, a derivada
é:
Passo 3
Vamos identificar
e
:
Agora, calculamos as derivadas de
e
:
Passo 4
Aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Então, a derivada simplificada é:
Passo 5
Agora que temos a derivada
, precisamos analisar onde ela é positiva, negativa ou zero para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento.
- Quando
: A função está crescendo. - Quando
: A função está decrescendo. - Quando
: Pode ser um ponto de máximo, mínimo ou uma inflexão.
Passo 6
Vamos analisar o sinal de
:
- O denominador
é sempre positivo, já que qualquer número ao quadrado é positivo e nunca é zero. - O numerador
depende do valor de : - Se
, então . - Se
, então . - Se
, então .
- Se
Passo 7
Com base nisso:
- Para
: ⇒ A função está crescente. - Para
: ⇒ A função está decrescente. - Em
: A derivada é zero, indicando um ponto crítico.
Resposta
A função
é:
- Crescente no intervalo
. - Decrescente no intervalo
.