Para cada função: Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão para as funções e no intervalo . Para isso, vamos usar derivadas: a primeira para descobrir a taxa de variação e a segunda para analisar a concavidade.

Passo 2

Vamos começar com a função . Primeiro, precisamos achar a segunda derivada dessa função.

Passo 3

Primeira Derivada de :
Usamos a regra do quociente:
Segunda Derivada de :

Passo 4

Agora, vamos analisar a concavidade de olhando para :
  1. Denominador :
    • É positivo quando e negativo quando .
  2. Numerador :
    • Sempre positivo, pois é não negativo.
Então:
  • Quando : → Concavidade para cima.
  • Quando : → Concavidade para baixo.
Pontos de Inflexão:
Ocorrem onde a concavidade muda, ou seja, em .

Passo 5

Agora vamos para a função , onde . Vamos encontrar a segunda derivada para analisar a concavidade e os pontos de inflexão.

Passo 6

Primeira Derivada de :
Usamos a regra do produto:
Segunda Derivada de :

Passo 7

Vamos analisar a concavidade de olhando para :
  1. Termo :
    • Sempre positivo, já que para todo onde está definido.
  2. Termo :
    • Depende do sinal de e .
Analisando:
  • Para : e são positivos → Termo positivo.
  • Para : é negativo e é negativo → Termo positivo.
Portanto, em todo o intervalo .
Conclusão:
  • A função é sempre côncava para cima nesse intervalo.
  • Não há pontos de inflexão, já que a concavidade não muda.

Resposta

Para :
  • Concavidade para cima em .
  • Concavidade para baixo em .
  • Pontos de inflexão em .
Para no intervalo :
  • Concavidade para cima em todo o intervalo.
  • Não há pontos de inflexão.

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