Para cada função:
Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão para as funções
e
no intervalo
. Para isso, vamos usar derivadas: a primeira para descobrir a taxa de variação e a segunda para analisar a concavidade.
Passo 2
Vamos começar com a função
. Primeiro, precisamos achar a segunda derivada dessa função.
Passo 3
Primeira Derivada de
:
Usamos a regra do quociente:
Segunda Derivada de
:
Passo 4
Agora, vamos analisar a concavidade de
olhando para
:
-
Denominador
: - É positivo quando
e negativo quando .
- É positivo quando
-
Numerador
: - Sempre positivo, pois
é não negativo.
- Sempre positivo, pois
Então:
- Quando
: → Concavidade para cima. - Quando
: → Concavidade para baixo.
Pontos de Inflexão:
Ocorrem onde a concavidade muda, ou seja, em .
Ocorrem onde a concavidade muda, ou seja, em
Passo 5
Agora vamos para a função
, onde
. Vamos encontrar a segunda derivada para analisar a concavidade e os pontos de inflexão.
Passo 6
Primeira Derivada de
:
Usamos a regra do produto:
Segunda Derivada de
:
Passo 7
Vamos analisar a concavidade de
olhando para
:
-
Termo
: - Sempre positivo, já que
para todo onde está definido.
- Sempre positivo, já que
-
Termo
: - Depende do sinal de
e .
- Depende do sinal de
Analisando:
- Para
: e são positivos → Termo positivo. - Para
: é negativo e é negativo → Termo positivo.
Portanto,
em todo o intervalo
.
Conclusão:
- A função
é sempre côncava para cima nesse intervalo. - Não há pontos de inflexão, já que a concavidade não muda.
Resposta
Para
:
- Concavidade para cima em
. - Concavidade para baixo em
. - Pontos de inflexão em
.
Para
no intervalo
:
- Concavidade para cima em todo o intervalo.
- Não há pontos de inflexão.
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Para cada função:
. Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
Dada a função.
Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Encontre os valores máximos e mínimos absolutos de
no intervalo dado.
,
Para cada função:
. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.