Para cada função: . Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão para três funções diferentes. Para isso, vamos usar o cálculo, especificamente derivadas segunda, que nos ajudam a entender como a curva da função está “curvando”. Vamos precisar calcular as primeiras e segundas derivadas de cada função e analisar onde a segunda derivada é positiva ou negativa. Vamos lá!

Passo 2

Função 1:
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a diferenciação:
Agora, vamos encontrar a primeira derivada usando a regra do produto:
Em seguida, encontramos a segunda derivada:
Simplificando:
Para encontrar os intervalos de concavidade, analisamos o sinal de :
  • quando e , ou seja, .
  • quando e , ou seja, . Mas como implica , não há intervalo onde .
Não há pontos de inflexão porque a segunda derivada não muda de sinal.

Passo 3

Função 2:
Vamos encontrar a primeira derivada:
Agora, a segunda derivada:
Para encontrar os intervalos de concavidade, analisamos o sinal de :
  • quando ou .
  • quando .
O ponto de inflexão ocorre quando :
Então, o ponto de inflexão está em .

Passo 4

Função 3:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Para os intervalos de concavidade, analisamos o sinal de :
  • quando , ou seja, quando está nos intervalos e .
  • quando , ou seja, quando está nos intervalos , e .
Os pontos de inflexão ocorrem onde , ou seja, quando :

Resposta

Função 1: A função é côncava para cima em e não possui pontos de inflexão.
Função 2: A função é côncava para cima quando e côncava para baixo quando . Possui um ponto de inflexão em .
Função 3: A função no intervalo é côncava para cima nos intervalos e , e côncava para baixo nos intervalos , e . Possui pontos de inflexão em e .

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