Para cada função:
. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão para três funções diferentes. Para isso, vamos usar o cálculo, especificamente derivadas segunda, que nos ajudam a entender como a curva da função está “curvando”. Vamos precisar calcular as primeiras e segundas derivadas de cada função e analisar onde a segunda derivada é positiva ou negativa. Vamos lá!
Passo 2
Função 1:
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a diferenciação:
Agora, vamos encontrar a primeira derivada usando a regra do produto:
Em seguida, encontramos a segunda derivada:
Simplificando:
Para encontrar os intervalos de concavidade, analisamos o sinal de
:
-
quando e , ou seja, . -
quando e , ou seja, . Mas como implica , não há intervalo onde .
Não há pontos de inflexão porque a segunda derivada não muda de sinal.
Passo 3
Função 2:
Vamos encontrar a primeira derivada:
Agora, a segunda derivada:
Para encontrar os intervalos de concavidade, analisamos o sinal de
:
-
quando ou . -
quando .
O ponto de inflexão ocorre quando
:
Então, o ponto de inflexão está em
.
Passo 4
Função 3:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Para os intervalos de concavidade, analisamos o sinal de
:
-
quando , ou seja, quando está nos intervalos e . -
quando , ou seja, quando está nos intervalos , e .
Os pontos de inflexão ocorrem onde
, ou seja, quando
:
Resposta
Função 1: A função
é côncava para cima em
e não possui pontos de inflexão.
Função 2: A função
é côncava para cima quando
e côncava para baixo quando
. Possui um ponto de inflexão em
.
Função 3: A função
no intervalo
é côncava para cima nos intervalos
e
, e côncava para baixo nos intervalos
,
e
. Possui pontos de inflexão em
e
.
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Encontre os valores máximos e mínimos absolutos de
no intervalo dado.
,
Para cada função:
Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Para cada função:
Use as informações das partes (a)(d) para esboçar o gráfico.
Dada a função.
Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.