Encontre os valores máximos e mínimos absolutos de
no intervalo dado.
,
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores máximos e mínimos absolutos da função
no intervalo
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas, para descobrir onde a função atinge esses valores extremos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender onde a função está aumentando ou diminuindo, e onde podem ocorrer máximos ou mínimos.
Passo 3
A derivada de
é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos críticos da função, que são os valores de
onde a derivada
é igual a zero ou não existe. Esses pontos são potenciais candidatos para máximos ou mínimos.
Passo 5
Vamos resolver a equação
:
Passo 6
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
Passo 7
Usando a identidade trigonométrica
, substituímos na equação:
Passo 8
Reorganizando os termos, temos uma equação quadrática em
:
Passo 9
Resolvendo essa equação quadrática para
usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto,
ou
.
Passo 10
Como estamos trabalhando no intervalo
, a solução válida é
. Assim, o ponto crítico é:
Passo 11
Agora, vamos avaliar a função
nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo para encontrar os valores máximos e mínimos:
-
Em
: -
Em
: -
Em
:
Resposta
O valor máximo absoluto de
no intervalo
é
e o valor mínimo absoluto é
.
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Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
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. Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
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Use as informações das partes (a)(d) para esboçar o gráfico.