Encontre os valores máximos e mínimos absolutos de f no intervalo dado. f(x) = 2 cos(x) + sen(2x), [0, pi/2]

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores máximos e mínimos absolutos da função no intervalo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas, para descobrir onde a função atinge esses valores extremos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a entender onde a função está aumentando ou diminuindo, e onde podem ocorrer máximos ou mínimos.

Passo 3

A derivada de é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos críticos da função, que são os valores de onde a derivada é igual a zero ou não existe. Esses pontos são potenciais candidatos para máximos ou mínimos.

Passo 5

Vamos resolver a equação :

Passo 6

Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:

Passo 7

Usando a identidade trigonométrica , substituímos na equação:

Passo 8

Reorganizando os termos, temos uma equação quadrática em :

Passo 9

Resolvendo essa equação quadrática para usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, ou .

Passo 10

Como estamos trabalhando no intervalo , a solução válida é . Assim, o ponto crítico é:

Passo 11

Agora, vamos avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo para encontrar os valores máximos e mínimos:
  • Em :
  • Em :
  • Em :

Resposta

O valor máximo absoluto de no intervalo é e o valor mínimo absoluto é .

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