Para cada função:
Encontre os valores máximos e mínimos locais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos duas funções:
O objetivo aqui é encontrar os valores máximos e mínimos locais dessas funções. Para isso, vamos usar um conteúdo de cálculo conhecido como derivadas, que nos ajuda a identificar onde as funções têm pontos de máximo ou mínimo.
Passo 2
Vamos começar com a função
. Para encontrar os extremos locais, precisamos calcular a derivada dessa função em relação a
e descobrir onde essa derivada é igual a zero ou não existe.
Passo 3
Calcular a derivada de
. Usando a regra do quociente:
Passo 4
Agora, vamos encontrar onde
:
Também devemos verificar onde a derivada não existe, ou seja, quando o denominador é zero:
Mas
estão fora do domínio de
, então só consideramos
.
Passo 5
Determine se
é um máximo ou mínimo. Olhando a segunda derivada ou observando o comportamento da derivada primeira:
- Para
, (decrescente) - Para
, (crescente)
Isso indica queé um mínimo local.
Passo 6
Vamos agora para a função
, com
. Novamente, vamos calcular a derivada para encontrar os extremos.
Passo 7
Calcular a derivada de
:
Passo 8
Encontrar onde
:
Essa equação não é fácil de resolver analiticamente, então podemos usar métodos numéricos ou gráficos para encontrar as soluções aproximadas dentro do intervalo dado.
Passo 9
Após resolver numericamente, encontramos que a única solução real para
dentro de
é
.
Passo 10
Analisando
:
- Para
, (decrescente) - Para
, (crescente)
Isso indica queé um mínimo local para .
Resposta
Função
:
- Mínimo local em
, com valor . - Não há máximos locais no domínio.
Função
:
- Mínimo local em
, com valor . - Não há máximos locais no intervalo
.
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Para cada função:
. Use as informações das partes (a)© para esboçar o gráfico.
Dada a função.
Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Calcule as integrais, justificando o raciocínio (50 pontos):
Calcule as integrais, justificando o raciocínio (50 pontos):