Para cada função: Encontre os valores máximos e mínimos locais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos duas funções:
O objetivo aqui é encontrar os valores máximos e mínimos locais dessas funções. Para isso, vamos usar um conteúdo de cálculo conhecido como derivadas, que nos ajuda a identificar onde as funções têm pontos de máximo ou mínimo.

Passo 2

Vamos começar com a função . Para encontrar os extremos locais, precisamos calcular a derivada dessa função em relação a e descobrir onde essa derivada é igual a zero ou não existe.

Passo 3

Calcular a derivada de . Usando a regra do quociente:

Passo 4

Agora, vamos encontrar onde :
Também devemos verificar onde a derivada não existe, ou seja, quando o denominador é zero:
Mas estão fora do domínio de , então só consideramos .

Passo 5

Determine se é um máximo ou mínimo. Olhando a segunda derivada ou observando o comportamento da derivada primeira:
  • Para , (decrescente)
  • Para , (crescente)
    Isso indica que é um mínimo local.

Passo 6

Vamos agora para a função , com . Novamente, vamos calcular a derivada para encontrar os extremos.

Passo 7

Calcular a derivada de :

Passo 8

Encontrar onde :
Essa equação não é fácil de resolver analiticamente, então podemos usar métodos numéricos ou gráficos para encontrar as soluções aproximadas dentro do intervalo dado.

Passo 9

Após resolver numericamente, encontramos que a única solução real para dentro de é .

Passo 10

Analisando :
  • Para , (decrescente)
  • Para , (crescente)
    Isso indica que é um mínimo local para .

Resposta

Função :
  • Mínimo local em , com valor .
  • Não há máximos locais no domínio.
Função :
  • Mínimo local em , com valor .
  • Não há máximos locais no intervalo .

Exercícios relacionados

Para cada função: . Use as informações das partes (a)© para esboçar o gráfico.
Dada a função. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Calcule as integrais, justificando o raciocínio (50 pontos):
Calcule as integrais, justificando o raciocínio (50 pontos):