Para cada função:
. Use as informações das partes (a)© para esboçar o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos três funções diferentes que precisamos esboçar os gráficos usando informações que normalmente a gente encontraria nas partes (a) e © de um exercício, que geralmente envolvem derivadas e pontos críticos. Então, vamos precisar usar cálculo, especialmente derivadas, para entender como cada função se comporta.
Passo 2
Vamos começar com a primeira função:
Primeiro, precisamos descobrir o domínio dessa função, ou seja, para quais valores de
a função está definida. A raiz quadrada exige que o que está dentro dela seja maior ou igual a zero:
Então, o domínio de
é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de
para identificar pontos críticos, que nos ajudam a encontrar máximos e mínimos locais.
Usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 4
Vamos encontrar os pontos críticos resolvendo
:
Como
está dentro do domínio
, é um ponto crítico válido.
Passo 5
Para saber se
é um máximo ou mínimo, analisamos a derivada em torno desse ponto:
- Se
, (função decrescendo) - Se
, (função crescendo)
Isso indica que
é um mínimo local.
Passo 6
Vamos agora para a segunda função:
Primeiro, derivamos:
Simplificando:
Os pontos críticos são onde
:
Analisando a derivada:
- Para
, (crescente) - Entre
e , (decrescente) - Para
, (crescente)
Então,
é um máximo local e
é um mínimo local.
Passo 7
Por fim, a terceira função:
no intervalo
Derivando:
Encontramos onde
:
No intervalo dado, os pontos críticos são
e
(mas
está fora do intervalo).
Analisando a derivada:
- Para
, (crescente) - Para
, (decrescente)
Então,
é um máximo local.
Resposta
Após analisar as três funções:
-
tem domínio , com um mínimo local em . -
apresenta um máximo local em e um mínimo local em . -
no intervalo possui um máximo local em .
Com essas informações, podemos esboçar os gráficos de cada função destacando seus comportamentos de crescimento, decrescimento e pontos críticos identificados.
Exercícios relacionados
Dada a função.
Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Para cada função:
Use as informações das partes (a)(d) para esboçar o gráfico.
Para cada função:
Encontre os valores máximos e mínimos locais.
Calcule as integrais, justificando o raciocínio (50 pontos):