Dada a função. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa descobrir onde ela é côncava (vira tipo uma tigela ou uma montanha) e onde ela muda de côncava, que são os pontos de inflexão. Para isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas. Mas não se preocupa, vou te explicar tudo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a concavidade de uma função, a gente precisa da segunda derivada dela. A segunda derivada, , nos diz se a função está “curvada para cima” (côncava para cima) ou “curvada para baixo” (côncava para baixo).

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada de . A derivada de é e a derivada de é . A derivada de uma constante, como 1, é 0. Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada:
Então, a segunda derivada é .

Passo 5

Para descobrir onde a função é côncava para cima ou para baixo, vamos analisar o sinal da segunda derivada :
  • Se , a função é côncava para cima.
  • Se , a função é côncava para baixo.

Passo 6

Vamos resolver a equação para encontrar possíveis pontos de inflexão:
Então, é um candidato a ponto de inflexão.

Passo 7

Agora, vamos testar os intervalos em torno de para ver onde a função é côncava para cima ou para baixo:
  • Para , por exemplo, :
ô
  • Para , por exemplo, :
ô
Isso mostra que a concavidade muda em , confirmando que é um ponto de inflexão.

Passo 8

Agora, vamos resumir os intervalos de concavidade:
  • Côncava para baixo quando
  • Côncava para cima quando
E o ponto de inflexão ocorre em .

Resposta

A função é côncava para baixo no intervalo e côncava para cima no intervalo . Há um ponto de inflexão em .

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