Dada a função.
Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa descobrir onde ela é côncava (vira tipo uma tigela ou uma montanha) e onde ela muda de côncava, que são os pontos de inflexão. Para isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas. Mas não se preocupa, vou te explicar tudo passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a concavidade de uma função, a gente precisa da segunda derivada dela. A segunda derivada,
, nos diz se a função está “curvada para cima” (côncava para cima) ou “curvada para baixo” (côncava para baixo).
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada de
. A derivada de
é
e a derivada de
é
. A derivada de uma constante, como 1, é 0. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada:
Então, a segunda derivada é
.
Passo 5
Para descobrir onde a função é côncava para cima ou para baixo, vamos analisar o sinal da segunda derivada
:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo.
Passo 6
Vamos resolver a equação
para encontrar possíveis pontos de inflexão:
Então,
é um candidato a ponto de inflexão.
Passo 7
Agora, vamos testar os intervalos em torno de
para ver onde a função é côncava para cima ou para baixo:
- Para
, por exemplo, :
- Para
, por exemplo, :
Isso mostra que a concavidade muda em
, confirmando que é um ponto de inflexão.
Passo 8
Agora, vamos resumir os intervalos de concavidade:
- Côncava para baixo quando
- Côncava para cima quando
E o ponto de inflexão ocorre em
.
Resposta
A função
é côncava para baixo no intervalo
e côncava para cima no intervalo
. Há um ponto de inflexão em
.
Exercícios relacionados
Para cada função:
Use as informações das partes (a)(d) para esboçar o gráfico.
Para cada função:
. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Para cada função:
. Use as informações das partes (a)© para esboçar o gráfico.
Para cada função:
Encontre os valores máximos e mínimos locais.