Calcule as integrais, justificando o raciocínio (50 pontos):
integral0^raizpi x^3 cos (x^2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integração por substituição. Vamos precisar usar uma técnica que simplifica a integral transformando-a em uma forma mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar a expressão. Observando , percebemos que o termo dentro do cosseno é um bom candidato para substituição.

Passo 3

Vamos definir uma nova variável u = x^2 para substituir du = 2x , dx Rightarrow du2 = x , dx :
Agora, precisamos encontrar a diferencial em termos de :

Passo 4

Vamos reescrever a integral original em termos de integral x^3 cos(x^2) , dx = integral x^2 cdot x cos(u) , dx usando a substituição que fizemos:
integral u cdot cos(u) cdot du2 = 12 integral u cos(u) , du
Sabemos que e , então substituindo:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral integral v , dw = v w - integral w , dv . Para isso, usamos a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
v = u Rightarrow dv = du
Escolhemos:
dw = cos(u) , du Rightarrow w = sin(u)

Passo 6

Aplicando a integração por partes:
integral u cos(u) , du = u sin(u) - integral sin(u) , du = u sin(u) + cos(u) + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Voltando à nossa integral original:
12 integral u cos(u) , du = 12 ( u sin(u) + cos(u) ) + C = u sin(u)2 + cos(u)2 + C
Substituindo x^2 sin(x^2)2 + cos(x^2)2 + C :

Passo 8

Agora, aplicamos os limites de integração de [ x^2 sin(x^2)2 + cos(x^2)2 ]0^raizpi a :

Passo 9

Calculando nos limites:
Para (raizpi)^2 sin((raizpi)^2)2 + cos((raizpi)^2)2 = pi sin(pi)2 + cos(pi)2 = pi cdot 02 + -12 = -12 :
0^2 sin(0^2)2 + cos(0^2)2 = 0 + 12 = 12
Para :

Resposta

Subtraindo os valores:
-12 - 12 = -1
Portanto, o valor da integral é .

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