Calcule as integrais, justificando o raciocínio (50 pontos):

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integração por substituição. Vamos precisar usar uma técnica que simplifica a integral transformando-a em uma forma mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar a expressão. Observando , percebemos que o termo dentro do cosseno é um bom candidato para substituição.

Passo 3

Vamos definir uma nova variável para substituir :
Agora, precisamos encontrar a diferencial em termos de :

Passo 4

Vamos reescrever a integral original em termos de usando a substituição que fizemos:
Sabemos que e , então substituindo:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral . Para isso, usamos a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
Escolhemos:

Passo 6

Aplicando a integração por partes:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Voltando à nossa integral original:
Substituindo :

Passo 8

Agora, aplicamos os limites de integração de a :

Passo 9

Calculando nos limites:
Para :
Para :

Resposta

Subtraindo os valores:
Portanto, o valor da integral é .

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Para cada função: Encontre os valores máximos e mínimos locais.
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