Calcule as integrais, justificando o raciocínio (50 pontos):
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integração por substituição. Vamos precisar usar uma técnica que simplifica a integral transformando-a em uma forma mais fácil de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar a expressão. Observando
, percebemos que o termo
dentro do cosseno é um bom candidato para substituição.
Passo 3
Vamos definir uma nova variável
para substituir
:
Agora, precisamos encontrar a diferencial
em termos de
:
Passo 4
Vamos reescrever a integral original em termos de
usando a substituição que fizemos:
Sabemos que
e
, então substituindo:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a integral
. Para isso, usamos a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
Escolhemos:
Passo 6
Aplicando a integração por partes:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Voltando à nossa integral original:
Substituindo
:
Passo 8
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Passo 9
Calculando nos limites:
Para :
Para
Para
:
Resposta
Subtraindo os valores:
Portanto, o valor da integral é
.
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Para cada função:
Encontre os valores máximos e mínimos locais.