Calcule as integrais, justificando o raciocínio (50 pontos):
integral x e^2 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de Cálculo Integral, mais especificamente usando a técnica de substituição. Vamos precisar entender como fazer uma mudança de variável para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que pode ser substituída por uma nova variável. Observamos que temos u = 2x^2 no expoente. Vamos chamar isso de :

Passo 3

Agora, precisamos achar a derivada de dudx = 4x em relação a du = 4x , dx para fazer a substituição completa. Derivando ambos os lados:
Isso significa que:

Passo 4

Perceba que na nossa integral original temos x , dx = du4 , mas a expressão que obtivemos para é . Vamos resolver para :

Passo 5

Agora, substituímos integral x e^2x^2 , dx = integral e^u cdot du4 = 14 integral e^u , du e na integral original:

Passo 6

A integral de 14 integral e^u , du = 14 e^u + C em relação a é simplesmente . Então:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Por último, voltamos à variável original substituindo 14 e^u + C = 14 e^2x^2 + C :

Resposta

integral x e^2x^2 , dx = 14 e^2x^2 + C

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