Para cada função: Use as informações das partes (a)(d) para esboçar o gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são duas funções que precisamos desenhar os gráficos:
  • , com
Para isso, vamos precisar usar conceitos de análise de funções, como identificar domínio, assíntotas, interseções com os eixos, e o comportamento geral da função. Vamos resolver isso passo a passo para cada função!

Passo 2

Analisando :
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função, ou seja, os valores de para os quais a função está definida. Olha aí:
  • O denominador não pode ser zero, porque divisão por zero é indefinida.
  • Então,
Então, o domínio de é todos os números reais menos e .

Passo 3

Encontrando as Assíntotas Verticais:
Assíntotas verticais acontecem onde a função tende ao infinito, geralmente onde o denominador é zero.
  • Já vimos que e fazem o denominador zero.
  • Então, há assíntotas verticais em e .

Passo 4

Encontrando as Assíntotas Horizontais:
Assíntotas horizontais mostram o comportamento da função quando vai para mais ou menos infinito.
  • Vamos avaliar o limite de quando tende a :
Então, a assíntota horizontal é .

Passo 5

Interseções com os Eixos:
  • Interseção com o eixo y: é quando :
Então, a interseção com o eixo y é no ponto .
  • Interseções com o eixo x: quando :
Isso não tem solução real, então a função não cruza o eixo x.

Passo 6

Comportamento Geral:
  • Para :
    • O denominador é positivo.
    • O numerador é sempre positivo.
    • Então, .
  • Para :
    • O denominador é negativo.
    • O numerador é sempre positivo.
    • Então, .
Isso nos ajuda a desenhar o gráfico em diferentes intervalos.

Passo 7

Desenhando o Gráfico de :
  1. Assíntotas Verticais em e .
  2. Assíntota Horizontal em .
  3. Interseção com o eixo y em .
  4. A função não cruza o eixo x.
  5. Para , a função está acima de .
  6. Para , a função está abaixo de .
Desenhando essas características, o gráfico terá duas “ramificações” que se aproximam das assíntotas.

Passo 8

Analisando , com :
Vamos repetir o processo:
  • Domínio: A função tem assíntotas onde , ou seja, . Porém, nosso intervalo já exclui esses pontos, então o domínio é .

Passo 9

Encontrando Assíntotas Verticais:
Dentro do intervalo dado, as assíntotas verticais estão exatamente em , mas como não estão inclusos, a função tende ao infinito nesses pontos.

Passo 10

Encontrando Assíntotas Horizontais:
Vamos ver o limite quando tende a :
Então, não há assíntotas horizontais, mas a função tende a perto de .

Passo 11

Interseções com os Eixos:
  • Interseção com o eixo y: quando :
Então, a interseção com o eixo y é no ponto .
  • Interseções com o eixo x: além de , a função cruza o eixo x quando , que ocorre em dentro do nosso intervalo. Então, só o ponto .

Passo 12

Comportamento Geral:
  • Quando se aproxima de de baixo, tende a , então tende a .
  • Quando se aproxima de de cima, tende a , mas também é negativo, então tende a .
  • Entre e , é negativo e é negativo, então é positivo.
  • Entre e , é positivo e é positivo, então é positivo.
Então, a função está sempre acima do eixo x dentro do intervalo.

Passo 13

Desenhando o Gráfico de :
  1. Assíntotas Verticais perto de e .
  2. Interseção com o eixo y em .
  3. A função está sempre acima do eixo x dentro do intervalo.
  4. Quando se aproxima de , vai para .
Desenhando essas características, o gráfico de será uma curva que parte de em , desce tocando , e sobe novamente chegando a em .

Resposta

Concluímos que os gráficos das funções são:
  1. :
    • Possui assíntotas verticais em e .
    • Assíntota horizontal em .
    • Interseção com o eixo y em .
    • Não cruza o eixo x.
    • Comportamento dividido: acima de para e abaixo para .
  2. , :
    • Assíntotas verticais próximas a e .
    • Interseção no ponto .
    • A função está sempre acima do eixo x dentro do intervalo.
    • Tendência a próximo das assíntotas verticais.
Com essas informações, dá pra esboçar os gráficos dessas funções mostrando as assíntotas, interseções e o comportamento geral.

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