Para cada função:
Use as informações das partes (a)(d) para esboçar o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são duas funções que precisamos desenhar os gráficos:
-
-
, com
Para isso, vamos precisar usar conceitos de análise de funções, como identificar domínio, assíntotas, interseções com os eixos, e o comportamento geral da função. Vamos resolver isso passo a passo para cada função!
Passo 2
Analisando
:
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função, ou seja, os valores de
para os quais a função está definida. Olha aí:
- O denominador não pode ser zero, porque divisão por zero é indefinida.
- Então,
→ →
Então, o domínio de
é todos os números reais menos
e
.
Passo 3
Encontrando as Assíntotas Verticais:
Assíntotas verticais acontecem onde a função tende ao infinito, geralmente onde o denominador é zero.
- Já vimos que
e fazem o denominador zero. - Então, há assíntotas verticais em
e .
Passo 4
Encontrando as Assíntotas Horizontais:
Assíntotas horizontais mostram o comportamento da função quando
vai para mais ou menos infinito.
- Vamos avaliar o limite de
quando tende a :
Então, a assíntota horizontal é
.
Passo 5
Interseções com os Eixos:
- Interseção com o eixo y: é quando
:
Então, a interseção com o eixo y é no ponto
.
- Interseções com o eixo x: quando
:
Isso não tem solução real, então a função não cruza o eixo x.
Passo 6
Comportamento Geral:
-
Para
: - O denominador
é positivo. - O numerador
é sempre positivo. - Então,
.
- O denominador
-
Para
: - O denominador
é negativo. - O numerador
é sempre positivo. - Então,
.
- O denominador
Isso nos ajuda a desenhar o gráfico em diferentes intervalos.
Passo 7
Desenhando o Gráfico de
:
- Assíntotas Verticais em
e . - Assíntota Horizontal em
. - Interseção com o eixo y em
. - A função não cruza o eixo x.
- Para
, a função está acima de . - Para
, a função está abaixo de .
Desenhando essas características, o gráfico terá duas “ramificações” que se aproximam das assíntotas.
Passo 8
Analisando
, com
:
Vamos repetir o processo:
- Domínio: A função
tem assíntotas onde , ou seja, . Porém, nosso intervalo já exclui esses pontos, então o domínio é .
Passo 9
Encontrando Assíntotas Verticais:
Dentro do intervalo dado, as assíntotas verticais estão exatamente em
, mas como não estão inclusos, a função tende ao infinito nesses pontos.
Passo 10
Encontrando Assíntotas Horizontais:
Vamos ver o limite quando
tende a
:
Então, não há assíntotas horizontais, mas a função tende a
perto de
.
Passo 11
Interseções com os Eixos:
- Interseção com o eixo y: quando
:
Então, a interseção com o eixo y é no ponto
.
- Interseções com o eixo x: além de
, a função cruza o eixo x quando , que ocorre em dentro do nosso intervalo. Então, só o ponto .
Passo 12
Comportamento Geral:
- Quando
se aproxima de de baixo, tende a , então tende a . - Quando
se aproxima de de cima, tende a , mas também é negativo, então tende a . - Entre
e , é negativo e é negativo, então é positivo. - Entre
e , é positivo e é positivo, então é positivo.
Então, a função está sempre acima do eixo x dentro do intervalo.
Passo 13
Desenhando o Gráfico de
:
- Assíntotas Verticais perto de
e . - Interseção com o eixo y em
. - A função está sempre acima do eixo x dentro do intervalo.
- Quando
se aproxima de , vai para .
Desenhando essas características, o gráfico de
será uma curva que parte de
em
, desce tocando
, e sobe novamente chegando a
em
.
Resposta
Concluímos que os gráficos das funções são:
-
: - Possui assíntotas verticais em
e . - Assíntota horizontal em
. - Interseção com o eixo y em
. - Não cruza o eixo x.
- Comportamento dividido: acima de
para e abaixo para .
- Possui assíntotas verticais em
-
, : - Assíntotas verticais próximas a
e . - Interseção no ponto
. - A função está sempre acima do eixo x dentro do intervalo.
- Tendência a
próximo das assíntotas verticais.
- Assíntotas verticais próximas a
Com essas informações, dá pra esboçar os gráficos dessas funções mostrando as assíntotas, interseções e o comportamento geral.
Exercícios relacionados
Para cada função:
. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Encontre os valores máximos e mínimos absolutos de
no intervalo dado.
,
Dada a função.
Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Para cada função:
. Use as informações das partes (a)© para esboçar o gráfico.