Para cada função abaixo, calcule a sua função derivada , nos pontos em que for possível (exiba e ). O domínio é em todos os exemplos abaixo.
Passo 1
Então, galera, vamos resolver esse exercício de derivadas! A gente tem uma função definida por módulos: , e queremos achar a derivada dessa função, ou seja, , nos pontos onde ela é possível. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas de funções absolutas e entender onde essa função é diferenciável. Vamos precisar lembrar como derivar funções com valor absoluto e identificar os pontos críticos onde a função pode não ser diferenciável.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função módulo, , pode ser escrita de forma diferente dependendo do sinal de . Ou seja:
Essa propriedade nos ajuda a reescrever sem os módulos, facilitando a derivação.
Passo 3
Vamos identificar os pontos onde as expressões dentro dos módulos mudam de sinal. Para , isso acontece quando . Para , quando . Esses são os pontos críticos onde a definição de muda, e possivelmente onde a derivada não existe.
Passo 4
Agora, vamos dividir a reta real em intervalos baseados nesses pontos críticos: , e . Em cada intervalo, vamos remover os módulos da função de acordo com o sinal das expressões dentro deles.
Passo 5
Para :
Então,
Para :
Então,
Para :
Então,
Passo 6
Agora, vamos derivar em cada intervalo:
Para , , então .
Para , , que é uma constante, então .
Para , , então .
Passo 7
Porém, precisamos verificar os pontos onde a função mudou de expressão, ou seja, e . Nestes pontos, a derivada pode não existir porque há uma “quebra” na inclinação da função.
Em , os limites laterais da derivada são diferentes:
Pela esquerda, .
Pela direita, .
Como os limites não são iguais, não existe em .
Em , os limites laterais da derivada também são diferentes:
Pela esquerda, .
Pela direita, .
Novamente, os limites não coincidem, então não existe em .