Para cada função abaixo, calcule a sua função derivada , nos pontos em que for possível (exiba e ). O domínio é em todos os exemplos abaixo.

Passo 1

Então, galera, vamos resolver esse exercício de derivadas! A gente tem uma função definida por módulos: , e queremos achar a derivada dessa função, ou seja, , nos pontos onde ela é possível. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas de funções absolutas e entender onde essa função é diferenciável. Vamos precisar lembrar como derivar funções com valor absoluto e identificar os pontos críticos onde a função pode não ser diferenciável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função módulo, , pode ser escrita de forma diferente dependendo do sinal de . Ou seja:
Essa propriedade nos ajuda a reescrever sem os módulos, facilitando a derivação.

Passo 3

Vamos identificar os pontos onde as expressões dentro dos módulos mudam de sinal. Para , isso acontece quando . Para , quando . Esses são os pontos críticos onde a definição de muda, e possivelmente onde a derivada não existe.

Passo 4

Agora, vamos dividir a reta real em intervalos baseados nesses pontos críticos: , e . Em cada intervalo, vamos remover os módulos da função de acordo com o sinal das expressões dentro deles.

Passo 5

Para :
Então,
Para :
Então,
Para :
Então,

Passo 6

Agora, vamos derivar em cada intervalo:
  • Para , , então .
  • Para , , que é uma constante, então .
  • Para , , então .

Passo 7

Porém, precisamos verificar os pontos onde a função mudou de expressão, ou seja, e . Nestes pontos, a derivada pode não existir porque há uma “quebra” na inclinação da função.
  • Em , os limites laterais da derivada são diferentes:
    • Pela esquerda, .
    • Pela direita, .
      Como os limites não são iguais, não existe em .
  • Em , os limites laterais da derivada também são diferentes:
    • Pela esquerda, .
    • Pela direita, .
      Novamente, os limites não coincidem, então não existe em .

Resposta

A função derivada e seu domínio são:

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Calcule os limites abaixo e decida se as respetivas funções possuem assíntotas horizontais.
Calcule os seguintes limites, se existirem, nos casos , e onde é um ponto onde não é definida. Note que em alguns exemplos temos que considerar os casos: grau do numerador ou ou do grau do denominador.
Sejam e um constante. Temos as seguintes regras para calcular derivadas.
(a) Derivada da soma no ponto :
(b) Derivada da função :
© Derivada do produto no ponto :
(d) Derivada do quociente no ponto :
Temos as seguintes derivadas das funções trigonométricas:
(a) se , temos ;
(b) se , temos ;
© se (exercício abaixo).
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…
Calcule a equação do tangente ao gráfico da função pontos e .
Calcule os limites abaixo e decida se as respetivas funções possuem assíntotas horizontais.