Para cada função
abaixo, calcule a sua função derivada
, nos pontos em que for possível (exiba
e
). O domínio é
em todos os exemplos abaixo.
Passo 1
Então, galera, vamos resolver esse exercício de derivadas! A gente tem uma função definida por módulos:
, e queremos achar a derivada dessa função, ou seja,
, nos pontos onde ela é possível. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas de funções absolutas e entender onde essa função é diferenciável. Vamos precisar lembrar como derivar funções com valor absoluto e identificar os pontos críticos onde a função pode não ser diferenciável.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função módulo,
, pode ser escrita de forma diferente dependendo do sinal de
. Ou seja:
Essa propriedade nos ajuda a reescrever
sem os módulos, facilitando a derivação.
Passo 3
Vamos identificar os pontos onde as expressões dentro dos módulos mudam de sinal. Para
, isso acontece quando
. Para
, quando
. Esses são os pontos críticos onde a definição de
muda, e possivelmente onde a derivada não existe.
Passo 4
Agora, vamos dividir a reta real em intervalos baseados nesses pontos críticos:
,
e
. Em cada intervalo, vamos remover os módulos da função
de acordo com o sinal das expressões dentro deles.
Passo 5
Para
:
Então,
Para
:
Então,
Para
:
Então,
Passo 6
Agora, vamos derivar
em cada intervalo:
- Para
, , então . - Para
, , que é uma constante, então . - Para
, , então .
Passo 7
Porém, precisamos verificar os pontos onde a função mudou de expressão, ou seja,
e
. Nestes pontos, a derivada pode não existir porque há uma “quebra” na inclinação da função.
-
Em
, os limites laterais da derivada são diferentes: - Pela esquerda,
. - Pela direita,
.
Como os limites não são iguais,não existe em .
- Pela esquerda,
-
Em
, os limites laterais da derivada também são diferentes: - Pela esquerda,
. - Pela direita,
.
Novamente, os limites não coincidem, entãonão existe em .
- Pela esquerda,
Resposta
A função derivada
e seu domínio
são: