Sejam
e
um constante. Temos as seguintes regras para calcular derivadas.
(a) Derivada da soma
no ponto
:
(b) Derivada da função
:
© Derivada do produto
no ponto
:
(d) Derivada do quociente
no ponto
:
Temos as seguintes derivadas das funções trigonométricas:
(a) se
, temos
;
(b) se
, temos
;
© se
(exercício abaixo).
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…
Calcule a equação do tangente ao gráfico da função
pontos
e
.
(a) Derivada da soma
(a) se
(b) se
© se
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…
Calcule a equação do tangente ao gráfico da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função
nos pontos
e
. Para isso, vamos usar as regras de derivadas que você apresentou, como a da soma e da função potência.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. Lembrando que a derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
.
A função é:
Podemos reescrever essa função usando potências:
Agora, vamos derivar termo a termo usando a regra da potência
:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada nos pontos dados.
Para
:
Para
:
Passo 4
Com a derivada nos pontos, podemos usar a fórmula da reta tangente:
Onde
é o ponto de tangência.
Vamos fazer isso para cada ponto.
Passo 5
Para o ponto
:
Distribuindo o
:
Somando 1 aos dois lados:
Para o ponto
:
Simplificando:
Distribuindo o 3:
Subtraindo 3 dos dois lados:
Resposta
As equações das retas tangentes são:
e
Exercícios relacionados
Para cada função
abaixo, calcule a sua função derivada
, nos pontos em que for possível (exiba
e
). O domínio é
em todos os exemplos abaixo.
Calcule os limites abaixo e decida se as respetivas funções possuem assíntotas horizontais.
Calcule os limites abaixo e decida se as respetivas funções possuem assíntotas horizontais.
Calcule os seguintes limites, se existirem, nos casos
, e
onde
é um ponto onde
não é definida. Note que em alguns exemplos temos que considerar os casos: grau do numerador
ou
ou
do grau do denominador.
(a função não é definida em
; então calcule também o limite
.)