Sejam f, g: R R e a in R um constante. Temos as seguintes regras para calcular derivadas.
(a) Derivada da soma f(x)+g(x) no ponto x0 :
(f+g)^prime(x0)=f^prime(x0)+g^prime(x0)
(b) Derivada da função a f(x) :
(a f)^prime(x0)=a f^prime(x0)
© Derivada do produto f(x) g(x) no ponto x0 :
(f g)^prime(x0)=f(x0) g^prime(x0)+f^prime(x0) g(x0)
(d) Derivada do quociente f(x) / g(x) no ponto x0 :
(f / g)^prime(x0)=g(x0) f^prime(x0)-f(x0) g^prime(x0)g(x0)^2
Temos as seguintes derivadas das funções trigonométricas:
(a) se f(x)=sen(x), temos f^prime(x0)=cos (x0);
(b) se f(x)=cos (x), temos f^prime(x0)=-sen(x0);
© se f(x)=tg(x) (exercício abaixo).
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…
Calcule a equação do tangente ao gráfico da função f(x)=1x^2-1x+1 nos pontos (1,1) e (-1,-3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função nos pontos e . Para isso, vamos usar as regras de derivadas que você apresentou, como a da soma e da função potência.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função f(x) = 1x^2 - 1x + 1 . Lembrando que a derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto f(x) = x^-2 - x^-1 + 1 .
A função é:
f'(x) = -2x^-3 + x^-2 + 0
Podemos reescrever essa função usando potências:
f'(x) = -2x^3 + 1x^2
Agora, vamos derivar termo a termo usando a regra da potência :
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada nos pontos dados.
Para f'(1) = -21^3 + 11^2 = -2 + 1 = -1 :
f'(-1) = -2(-1)^3 + 1(-1)^2 = -2-1 + 11 = 2 + 1 = 3
Para :

Passo 4

Com a derivada nos pontos, podemos usar a fórmula da reta tangente:
y - f(x0) = f'(x0)(x - x0)
Onde é o ponto de tangência.
Vamos fazer isso para cada ponto.

Passo 5

Para o ponto y - 1 = -1 (x - 1) :
y - 1 = -x + 1
Distribuindo o y = -x + 2 :
y - (-3) = 3 (x - (-1))
Somando 1 aos dois lados:
y + 3 = 3(x + 1)
Para o ponto y + 3 = 3x + 3 :
y = 3x
Simplificando:
Distribuindo o 3:
Subtraindo 3 dos dois lados:

Resposta

As equações das retas tangentes são:
y = -x + 2
e
y = 3x

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