Calcule os limites abaixo e decida se as respetivas funções possuem assíntotas horizontais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um limite de uma função do tipo racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. O enunciado pede para calcular o limite quando tende para o infinito da função:
Além disso, queremos saber se essa função tem assíntotas horizontais. Para resolver isso, vamos precisar entender como se calcula o limite de funções racionais e como identificar assíntotas horizontais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os graus dos polinômios no numerador e no denominador. O grau de um polinômio é o maior expoente de que aparece nele.
No numerador, temos , então o grau é 3.
No denominador, temos , também de grau 3.
Quando os graus do numerador e do denominador são iguais, o limite quando tende para o infinito é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Isso significa que a gente olha apenas os termos e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite usando essa regra. Pegamos o coeficiente de no numerador, que é 3, e dividimos pelo coeficiente de no denominador, que é 1.
Então:

Passo 4

Com esse resultado, podemos concluir sobre a existência de uma assíntota horizontal. Se o limite da função quando tende para o infinito é um número finito , então a função tem uma assíntota horizontal em .
Aqui, o limite é 3, então a função tem uma assíntota horizontal em .

Resposta

A função possui uma assíntota horizontal em .

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Calcule os seguintes limites, se existirem, nos casos , e onde é um ponto onde não é definida. Note que em alguns exemplos temos que considerar os casos: grau do numerador ou ou do grau do denominador.
Encontre um intervalo no qual a equação possua uma solução (raiz).
Justifique suas respostas, escreva com letras legiveis e seja organizado.
Para cada função abaixo, calcule a sua função derivada , nos pontos em que for possível (exiba e ). O domínio é em todos os exemplos abaixo.
Sejam e um constante. Temos as seguintes regras para calcular derivadas.
(a) Derivada da soma no ponto :
(b) Derivada da função :
© Derivada do produto no ponto :
(d) Derivada do quociente no ponto :
Temos as seguintes derivadas das funções trigonométricas:
(a) se , temos ;
(b) se , temos ;
© se (exercício abaixo).
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…
Calcule a equação do tangente ao gráfico da função pontos e .