Calcule os limites abaixo e decida se as respetivas funções possuem assíntotas horizontais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um limite de uma função do tipo racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. O enunciado pede para calcular o limite quando
tende para o infinito da função:
Além disso, queremos saber se essa função tem assíntotas horizontais. Para resolver isso, vamos precisar entender como se calcula o limite de funções racionais e como identificar assíntotas horizontais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os graus dos polinômios no numerador e no denominador. O grau de um polinômio é o maior expoente de
que aparece nele.
No numerador, temos
, então o grau é 3.
No denominador, temos , também de grau 3.
No denominador, temos
Quando os graus do numerador e do denominador são iguais, o limite quando
tende para o infinito é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Isso significa que a gente olha apenas os termos
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite usando essa regra. Pegamos o coeficiente de
no numerador, que é 3, e dividimos pelo coeficiente de
no denominador, que é 1.
Então:
Passo 4
Com esse resultado, podemos concluir sobre a existência de uma assíntota horizontal. Se o limite da função quando
tende para o infinito é um número finito
, então a função tem uma assíntota horizontal em
.
Aqui, o limite é 3, então a função tem uma assíntota horizontal em
.
Resposta
A função possui uma assíntota horizontal em
.
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites, se existirem, nos casos
, e
onde
é um ponto onde
não é definida. Note que em alguns exemplos temos que considerar os casos: grau do numerador
ou
ou
do grau do denominador.
Encontre um intervalo no qual a equação
possua uma solução (raiz).
Justifique suas respostas, escreva com letras legiveis e seja organizado.
Justifique suas respostas, escreva com letras legiveis e seja organizado.
Para cada função
abaixo, calcule a sua função derivada
, nos pontos em que for possível (exiba
e
). O domínio é
em todos os exemplos abaixo.
Sejam
e
um constante. Temos as seguintes regras para calcular derivadas.
(a) Derivada da soma no ponto
:
(a) Derivada da soma
(b) Derivada da função
:
© Derivada do produto
no ponto
:
(d) Derivada do quociente
no ponto
:
Temos as seguintes derivadas das funções trigonométricas:
(a) se , temos
;
(b) se , temos
;
© se (exercício abaixo).
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…
Calcule a equação do tangente ao gráfico da função pontos
e
.
(a) se
(b) se
© se
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…
Calcule a equação do tangente ao gráfico da função