Calcule os limites abaixo e decida se as respetivas funções possuem assíntotas horizontais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um limite de uma função do tipo racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. O enunciado pede para calcular o limite quando
tende para o infinito da função:
Além disso, queremos saber se essa função tem assíntotas horizontais. Para resolver isso, vamos precisar entender como se calcula o limite de funções racionais e como identificar assíntotas horizontais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os graus dos polinômios no numerador e no denominador. O grau de um polinômio é o maior expoente de
que aparece nele.
No numerador, temos
, então o grau é 3.
No denominador, temos , também de grau 3.
No denominador, temos
Quando os graus do numerador e do denominador são iguais, o limite quando
tende para o infinito é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Isso significa que a gente olha apenas os termos
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite usando essa regra. Pegamos o coeficiente de
no numerador, que é 3, e dividimos pelo coeficiente de
no denominador, que é 1.
Então:
Passo 4
Com esse resultado, podemos concluir sobre a existência de uma assíntota horizontal. Se o limite da função quando
tende para o infinito é um número finito
, então a função tem uma assíntota horizontal em
.
Aqui, o limite é 3, então a função tem uma assíntota horizontal em
.
Resposta
A função possui uma assíntota horizontal em
.