Calcule os limites abaixo e decida se as respetivas funções possuem assíntotas horizontais.
lim x infty 3 x^3-5x^3+2 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um limite de uma função do tipo racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. O enunciado pede para calcular o limite quando lim x infty 3 x^3-5x^3+2 x tende para o infinito da função:
Além disso, queremos saber se essa função tem assíntotas horizontais. Para resolver isso, vamos precisar entender como se calcula o limite de funções racionais e como identificar assíntotas horizontais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os graus dos polinômios no numerador e no denominador. O grau de um polinômio é o maior expoente de que aparece nele.
No numerador, temos , então o grau é 3.
No denominador, temos , também de grau 3.
Quando os graus do numerador e do denominador são iguais, o limite quando tende para o infinito é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Isso significa que a gente olha apenas os termos e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite usando essa regra. Pegamos o coeficiente de lim x infty 3 x^3-5x^3+2 x = 31 = 3 no numerador, que é 3, e dividimos pelo coeficiente de no denominador, que é 1.
Então:

Passo 4

Com esse resultado, podemos concluir sobre a existência de uma assíntota horizontal. Se o limite da função quando tende para o infinito é um número finito , então a função tem uma assíntota horizontal em .
Aqui, o limite é 3, então a função tem uma assíntota horizontal em .

Resposta

lim x infty 3 x^3-5x^3+2 x = 3
A função possui uma assíntota horizontal em .

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