Para cada função abaixo calcule o limite que está sendo pedido, nos respectivos pontos indicados: , sendo
A função é contínua em ? Justifique.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes chamada , e queremos calcular o limite dessa função quando se aproxima de 1, ou seja, . Depois disso, precisamos verificar se a função é contínua em . Para resolver isso, vamos precisar conhecer o conceito de limite e de continuidade de funções.

Passo 2

Primeiro, observamos que a função é definida de duas maneiras diferentes, dependendo do valor de :
Para calcular o limite quando se aproxima de 1, precisamos considerar os limites pela esquerda e pela direita de 1.

Passo 3

Vamos calcular o limite pela esquerda, ou seja, quando se aproxima de 1 a partir dos valores menores que 1 ( ):
Aqui usamos diretamente a definição de para .

Passo 4

Agora, calculamos o limite pela direita, quando se aproxima de 1 a partir dos valores maiores que 1 ( ):
Aqui usamos a outra parte da definição de para .

Passo 5

Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais, podemos concluir que o limite geral existe e é igual a esse valor comum:

Passo 6

Para verificar se a função é contínua em , precisamos ver se três condições são atendidas:
  1. está definida.
  2. existe.
  3. .
Primeiro, vamos encontrar :
çã
Já sabemos que:
Como , todas as três condições são satisfeitas.

Resposta

A função é contínua em porque o limite existe e é igual ao valor da função nesse ponto.

Exercícios relacionados

Explique por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio.
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número .
Para cada função abaixo calcule o limite que está sendo pedido, nos respectivos pontos indicados: , sendo
A função é contínua em ? Justifique.
Para cada função abaixo calcule o limite que está sendo pedido, nos respectivos pontos indicados: