Para cada função abaixo calcule o limite que está sendo pedido, nos respectivos pontos indicados:
, sendo
A função
é contínua em
? Justifique.
A função
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes chamada
, e queremos calcular o limite dessa função quando
se aproxima de 1, ou seja,
. Depois disso, precisamos verificar se a função
é contínua em
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o conceito de limite e de continuidade de funções.
Passo 2
Primeiro, observamos que a função
é definida de duas maneiras diferentes, dependendo do valor de
:
Para calcular o limite quando
se aproxima de 1, precisamos considerar os limites pela esquerda e pela direita de 1.
Passo 3
Vamos calcular o limite pela esquerda, ou seja, quando
se aproxima de 1 a partir dos valores menores que 1 (
):
Aqui usamos diretamente a definição de
para
.
Passo 4
Agora, calculamos o limite pela direita, quando
se aproxima de 1 a partir dos valores maiores que 1 (
):
Aqui usamos a outra parte da definição de
para
.
Passo 5
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais, podemos concluir que o limite geral existe e é igual a esse valor comum:
Passo 6
Para verificar se a função
é contínua em
, precisamos ver se três condições são atendidas:
-
está definida. -
existe. -
.
Primeiro, vamos encontrar
:
Já sabemos que:
Como
, todas as três condições são satisfeitas.
Resposta
A função
é contínua em
porque o limite existe e é igual ao valor da função nesse ponto.
Exercícios relacionados
Explique por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio.
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número
.
Para cada função abaixo calcule o limite que está sendo pedido, nos respectivos pontos indicados:
, sendo
A função é contínua em
? Justifique.
A função
Para cada função abaixo calcule o limite que está sendo pedido, nos respectivos pontos indicados: