Para cada função abaixo calcule o limite que está sendo pedido, nos respectivos pontos indicados: lim x 1 g(x), sendo g(x)=lx, se x <= 1 x^2, se x>1
A função g(x) é contínua em x=1 ? Justifique.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes chamada , e queremos calcular o limite dessa função quando se aproxima de 1, ou seja, . Depois disso, precisamos verificar se a função é contínua em . Para resolver isso, vamos precisar conhecer o conceito de limite e de continuidade de funções.

Passo 2

Primeiro, observamos que a função g(x) = x, & se x <= 1 x^2, & se x > 1 é definida de duas maneiras diferentes, dependendo do valor de :
Para calcular o limite quando se aproxima de 1, precisamos considerar os limites pela esquerda e pela direita de 1.

Passo 3

Vamos calcular o limite pela esquerda, ou seja, quando limx 1^- g(x) = limx 1^- x = 1 se aproxima de 1 a partir dos valores menores que 1 ( ):
Aqui usamos diretamente a definição de para .

Passo 4

Agora, calculamos o limite pela direita, quando limx 1^+ g(x) = limx 1^+ x^2 = 1^2 = 1 se aproxima de 1 a partir dos valores maiores que 1 ( ):
Aqui usamos a outra parte da definição de para .

Passo 5

Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais, podemos concluir que o limite geral existe e é igual a esse valor comum:
limx 1 g(x) = 1

Passo 6

Para verificar se a função g(1) = 1 (usando a primeira definição para x <= 1) é contínua em limx 1 g(x) = 1 , precisamos ver se três condições são atendidas:
  1. está definida.
  2. existe.
  3. .
Primeiro, vamos encontrar :
çã
Já sabemos que:
Como , todas as três condições são satisfeitas.

Resposta

A função é contínua em porque o limite existe e é igual ao valor da função nesse ponto.

Exercícios relacionados