Para cada função abaixo calcule o limite que está sendo pedido, nos respectivos pontos indicados: lim x 2 g(x), sendo g(x)=l2x-1, se x>2 2, se x <= 2
A função g(x) é contínua em x=2 ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite da função quando se aproxima de 2. A função está definida de duas maneiras:
  • Para :
  • Para :
Vamos usar conceitos de limites e continuidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o limite de limx to 2^+ g(x) = limx to 2^+ 2x - 1 quando 22 - 1 = 21 = 2 se aproxima de 2 pela direita (valores maiores que 2). Isso é chamado de limite direito.
Substituindo por 2:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o limite de limx to 2^- g(x) = limx to 2^- 2 = 2 quando se aproxima de 2 pela esquerda (valores menores ou iguais a 2). Isso é chamado de limite esquerdo.
Como a função é constante para , o limite é simplesmente 2.

Passo 4

Como os dois limites laterais são iguais, o limite geral existe e é igual a 2.
limx to 2 g(x) = 2

Passo 5

Agora, vamos verificar se a função é contínua em . Para isso, precisamos que três condições sejam verdadeiras:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de 2 existe.
  3. O limite é igual ao valor da função em 2.
Sabemos que:
  • (pela definição da função).
  • O limite quando se aproxima de 2 é 2.
Como todas as condições são satisfeitas:

Resposta

Sim, a função é contínua em porque o limite quando se aproxima de 2 é igual ao valor da função em 2.

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