Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que a função
é contínua no ponto
. Isso envolve entender o que é continuidade e como usar os limites para provar isso. Vamos precisar lembrar da definição de continuidade e das propriedades básicas de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Dizemos que
é contínua em
se três condições forem atendidas:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição:
está definida. Substituindo
na função:
Então,
está definida e é igual a
.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda condição: calcular o limite de
quando
se aproxima de 1. Como a função é uma fração de polinômios e o denominador
não é zero em
, podemos simplesmente substituir:
Então, o limite existe e é
.
Passo 5
Por fim, vamos comparar o limite com o valor da função em
. Já vimos que:
Como o limite é igual ao valor da função, todas as três condições de continuidade estão satisfeitas.
Resposta
Portanto, a função
é contínua no ponto
.
Exercícios relacionados
Resolva
.
Se
e
, use a Desigualdade Triangular para estimar
.
Explique por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio.
Para cada função abaixo calcule o limite que está sendo pedido, nos respectivos pontos indicados:
, sendo
A função é contínua em
? Justifique.
A função