Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que a função é contínua no ponto . Isso envolve entender o que é continuidade e como usar os limites para provar isso. Vamos precisar lembrar da definição de continuidade e das propriedades básicas de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Dizemos que é contínua em se três condições forem atendidas:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição: está definida. Substituindo na função:
Então, está definida e é igual a .

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda condição: calcular o limite de quando se aproxima de 1. Como a função é uma fração de polinômios e o denominador não é zero em , podemos simplesmente substituir:
Então, o limite existe e é .

Passo 5

Por fim, vamos comparar o limite com o valor da função em . Já vimos que:
Como o limite é igual ao valor da função, todas as três condições de continuidade estão satisfeitas.

Resposta

Portanto, a função é contínua no ponto .

Exercícios relacionados

Resolva .
Se e , use a Desigualdade Triangular para estimar .
Explique por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio.
Para cada função abaixo calcule o limite que está sendo pedido, nos respectivos pontos indicados: , sendo
A função é contínua em ? Justifique.