Para cada função abaixo calcule o limite que está sendo pedido, nos respectivos pontos indicados: , sendo
A função é contínua em ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de quando se aproxima de 1 e depois verificar se a função é contínua nesse ponto. A função está definida por partes, então vamos precisar usar os conceitos de limite e continuidade, além de entender como funcionam funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites laterais, ou seja, o limite quando se aproxima de 1 pela direita ( ) e pela esquerda ( ).

Passo 3

Quando (valores maiores que 1), a função . Vamos calcular esse limite:
À medida que se aproxima de 1 pela direita, fica muito pequeno positivo, então tende a .

Passo 4

Agora, quando (valores menores ou iguais a 1), a função . O limite nesse caso é simplesmente 2:

Passo 5

Para o limite geral existir, os limites laterais precisam ser iguais. Mas aqui temos:
Como esses limites não são iguais, o limite geral não existe.

Passo 6

Agora, vamos verificar se é contínua em . Para a função ser contínua no ponto, três condições devem ser satisfeitas:
  1. está definida.
  2. existe.
  3. .
Já vimos que não existe, então a função não pode ser contínua em .

Resposta

O limite não existe e, portanto, a função não é contínua em .

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Derive.