Dados a função e o ponto a seguir, (a) parametrize a trajetória de uma partícula que se move a partir do ponto na direção e sentido de mínimo crescimento de f.
(b) Determine uma direção em que não haja crescimento.
(b) Determine uma direção em que não haja crescimento.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função
e um ponto específico
. A parte (a) nos solicita para parametrizar a trajetória de uma partícula que se move a partir desse ponto na direção e sentido de mínimo crescimento de
. Já a parte (b) pede para determinar uma direção na qual não haja crescimento de
.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como gradiente de uma função e direções de crescimento mínimo e sem crescimento. O gradiente nos fornece a direção de máximo crescimento, então a direção de mínimo crescimento será oposta a ele. Além disso, direções sem crescimento estão relacionadas a vetores perpendiculares ao gradiente.
Passo 2
Vamos começar calculando o gradiente da função
. O gradiente é um vetor composto pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja:
Calculando as derivadas:
Portanto, o gradiente é:
Passo 3
No ponto
, vamos avaliar o gradiente:
Este vetor
indica a direção de máximo crescimento da função
no ponto
.
Passo 4
A direção de mínimo crescimento é a direção oposta à do gradiente. Assim, o vetor de direção de mínimo crescimento é:
Este será o vetor tangente à trajetória que queremos parametrizar.
Passo 5
Para parametrizar a trajetória, consideramos que a partícula se move na direção de mínimo crescimento. Isso significa que a derivada das coordenadas
e
em relação ao parâmetro
(que pode ser considerado o tempo) será proporcional ao vetor de direção
.
Assim, temos o sistema de equações diferenciais:
Passo 6
Vamos resolver as equações diferenciais com a condição inicial
. Integrando a primeira equação:
Usando
:
Portanto:
Passo 7
Agora, resolvemos a segunda equação diferencial:
Usando
:
Portanto:
Passo 8
Com as soluções de
e
, a parametrização da trajetória da partícula é dada por:
Passo 9
Para a parte (b), precisamos determinar uma direção onde não haja crescimento da função
. Isso ocorre quando o vetor de direção é perpendicular ao gradiente, ou seja, quando o produto escalar é zero:
Com
e
, temos:
Escolhendo
, por exemplo, temos
. Portanto, uma direção que não apresenta crescimento de
é:
Resposta
(a) A parametrização da trajetória é dada por:
(b) Uma direção em que não há crescimento de
é a direção do vetor
.