Dados a função e o ponto a seguir, (a) parametrize a trajetória de uma partícula que se move a partir do ponto na direção e sentido de mínimo crescimento de f.
(b) Determine uma direção em que não haja crescimento.
f(x, y) = x * y^2 - 2 * y ; (1, -1)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função e um ponto específico . A parte (a) nos solicita para parametrizar a trajetória de uma partícula que se move a partir desse ponto na direção e sentido de mínimo crescimento de . Já a parte (b) pede para determinar uma direção na qual não haja crescimento de .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como gradiente de uma função e direções de crescimento mínimo e sem crescimento. O gradiente nos fornece a direção de máximo crescimento, então a direção de mínimo crescimento será oposta a ele. Além disso, direções sem crescimento estão relacionadas a vetores perpendiculares ao gradiente.

Passo 2

Vamos começar calculando o gradiente da função . O gradiente é um vetor composto pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja:
Calculando as derivadas:
Portanto, o gradiente é:

Passo 3

No ponto , vamos avaliar o gradiente:
Este vetor indica a direção de máximo crescimento da função no ponto .

Passo 4

A direção de mínimo crescimento é a direção oposta à do gradiente. Assim, o vetor de direção de mínimo crescimento é:
Este será o vetor tangente à trajetória que queremos parametrizar.

Passo 5

Para parametrizar a trajetória, consideramos que a partícula se move na direção de mínimo crescimento. Isso significa que a derivada das coordenadas e em relação ao parâmetro (que pode ser considerado o tempo) será proporcional ao vetor de direção .
Assim, temos o sistema de equações diferenciais:

Passo 6

Vamos resolver as equações diferenciais com a condição inicial . Integrando a primeira equação:
Usando :
Portanto:

Passo 7

Agora, resolvemos a segunda equação diferencial:
Usando :
Portanto:

Passo 8

Com as soluções de e , a parametrização da trajetória da partícula é dada por:

Passo 9

Para a parte (b), precisamos determinar uma direção onde não haja crescimento da função . Isso ocorre quando o vetor de direção é perpendicular ao gradiente, ou seja, quando o produto escalar é zero:
Com e , temos:
Escolhendo , por exemplo, temos . Portanto, uma direção que não apresenta crescimento de é:

Resposta

(a) A parametrização da trajetória é dada por:
(b) Uma direção em que não há crescimento de é a direção do vetor .

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