Para cada função abaixo calcule, se possivel, os limites: lim h 0 f(x+h, y)-f(x, y)h e lim h 0 f(x, y+h)-f(x, y)h.
d) f(x, y)=x ln y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular dois limites para a função . Esses limites são, na verdade, as derivadas parciais da função em relação a e a . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são derivadas parciais e como calcular essas derivadas usando os limites fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite f(x+h, y) = (x + h) ln y . Esse limite representa a derivada parcial de f(x+h, y) - f(x, y)h = (x + h) ln y - x ln yh em relação a (x + h)ln y - x ln yh = x ln y + h ln y - x ln yh = h ln yh = ln y , ou seja, lim h 0 f(x+h, y)-f(x, y)h = ln y .
Vamos substituir na expressão:
Agora, substituindo na diferença:
Simplificando:
Então, tomando o limite quando tende a 0:

Passo 3

Agora, vamos calcular o segundo limite: f(x, y+h) = x ln (y + h) . Esse limite representa a derivada parcial de f(x, y+h) - f(x, y)h = x ln (y + h) - x ln yh = x cdot ln (y + h) - ln yh em relação a lim h 0 ln (y + h) - ln yh = 1y , ou seja, lim h 0 f(x, y+h)-f(x, y)h = x cdot 1y = xy .
Vamos substituir na expressão:
Agora, substituindo na diferença:
Para simplificar, usamos uma regra do cálculo que diz que:
Portanto:

Resposta

As derivadas parciais da função lim h 0 f(x+h, y)-f(x, y)h = ln y são:
lim h 0 f(x, y+h)-f(x, y)h = xy
e

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