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Dada uma função f = f(x, y), a curva de nivel k de f é o conjunto de pontos:
C_k = {(x, y) | x, y pertencem a Dom f e f(x, y) = k}
Por exemplo, considere a função f(x, y) = x^2 + y^2.
Para cada k > 0, sua curva de nível k é: Ck = {(x, y) em Dom f | x^2 + y^2 = k}, ou seja, uma circunferência com centro na origem e raio raiz(k).
Se k < 0, então C_k = { } (conjunto vazio) e finalmente, se k = 0, então C_k = {(0,0)} (conjunto unitário formado por (0,0)).
Determine e esboce as curvas de nivel indicadas:
a) f(x, y) = x^2 - y, k = -2, 0, 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre curvas de nível! A gente vai trabalhar com a função e precisa encontrar as curvas de nível para os valores de , e . Para isso, vamos usar a definição de curva de nível, que é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma curva de nível. Dada a função , a curva de nível para um valor é definida por:
No nosso caso, , então queremos encontrar todos os pontos que satisfazem:

Passo 3

Vamos agora resolver essa equação para cada valor de :
  1. Para :
Essa é a equação de uma parábola que abre para cima, deslocada 2 unidades para cima no eixo .
  1. Para :
Aqui temos a parábola padrão que abre para cima, com vértice na origem.
  1. Para :
Essa é uma parábola que abre para cima, mas deslocada 3 unidades para baixo no eixo .

Resposta

As curvas de nível para a função são:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Cada uma dessas equações representa uma parábola com abertura para cima, deslocadas verticalmente conforme o valor de .

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