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Dada uma função
, a curva de nivel
de
é o conjunto de pontos:
Por exemplo, considere a função
.
Para cada
, sua curva de nível
é:
, ou seja, uma circunferência com centro na origem e raio
.
Se
, então
(conjunto vazio) e finalmente, se
, então
(conjunto unitário formado por
).
Determine e esboce as curvas de nivel indicadas:
a)
.
Dada uma função
Para cada
Se
Determine e esboce as curvas de nivel indicadas:
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre curvas de nível! A gente vai trabalhar com a função
e precisa encontrar as curvas de nível para os valores de
,
e
. Para isso, vamos usar a definição de curva de nível, que é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma curva de nível. Dada a função
, a curva de nível para um valor
é definida por:
No nosso caso,
, então queremos encontrar todos os pontos
que satisfazem:
Passo 3
Vamos agora resolver essa equação para cada valor de
:
- Para
:
Essa é a equação de uma parábola que abre para cima, deslocada 2 unidades para cima no eixo
.
- Para
:
Aqui temos a parábola padrão que abre para cima, com vértice na origem.
- Para
:
Essa é uma parábola que abre para cima, mas deslocada 3 unidades para baixo no eixo
.
Resposta
As curvas de nível para a função
são:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Cada uma dessas equações representa uma parábola com abertura para cima, deslocadas verticalmente conforme o valor de
.