Determine o Fluxo do campo F(x, y, z) = x i - z j + y k, através da superfície S que é a parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 2 no primeiro octante, com orientação para origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície , que é a parte da esfera no primeiro octante, e a orientação dessa superfície é voltada para a origem. Vamos usar o Teorema da Divergência para facilitar a nossa vida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo mede basicamente quanto do campo está passando por essa superfície. Pelo Teorema da Divergência, a gente pode transformar o cálculo de um fluxo através de uma superfície fechada em um volume em que essa superfície está contida. A fórmula do teorema é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a divergência do campo . A divergência, , é a soma das derivadas parciais das componentes do campo:

Passo 4

Como a divergência é 1, o lado direito do Teorema da Divergência fica:
Precisamos descobrir o volume de , que é a parte do interior da esfera no primeiro octante.

Passo 5

A esfera tem raio . O volume total da esfera é:
Mas como estamos no primeiro octante, que é 1/8 da esfera, o volume de é:

Passo 6

Então, o fluxo através da superfície fechada é . Porém, nossa superfície é apenas a parte da esfera no primeiro octante. Para aplicar o Teorema da Divergência, precisamos considerar todas as faces que fecham o volume . Essas faces são os planos , e no primeiro octante.

Passo 7

Agora, vamos calcular o fluxo através dessas faces planas. No entanto, como o campo tem componentes que se anulam em algumas direções, o fluxo através dessas faces será zero. Isso simplifica nosso cálculo, pois o fluxo total através da superfície fechada é igual ao fluxo apenas através da parte esférica .

Passo 8

Portanto, o fluxo do campo através da superfície é igual ao volume que calculamos:

Resposta

O fluxo do campo através da superfície é .

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