Determine o Fluxo do campo
, através da superfície
que é a parte da esfera
no primeiro octante, com orientação para origem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície
, que é a parte da esfera
no primeiro octante, e a orientação dessa superfície é voltada para a origem. Vamos usar o Teorema da Divergência para facilitar a nossa vida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo mede basicamente quanto do campo está passando por essa superfície. Pelo Teorema da Divergência, a gente pode transformar o cálculo de um fluxo através de uma superfície fechada em um volume em que essa superfície está contida. A fórmula do teorema é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a divergência do campo
. A divergência,
, é a soma das derivadas parciais das componentes do campo:
Passo 4
Como a divergência é 1, o lado direito do Teorema da Divergência fica:
Precisamos descobrir o volume de
, que é a parte do interior da esfera
no primeiro octante.
Passo 5
A esfera tem raio
. O volume total da esfera é:
Mas como estamos no primeiro octante, que é 1/8 da esfera, o volume de
é:
Passo 6
Então, o fluxo através da superfície fechada é
. Porém, nossa superfície
é apenas a parte da esfera no primeiro octante. Para aplicar o Teorema da Divergência, precisamos considerar todas as faces que fecham o volume
. Essas faces são os planos
,
e
no primeiro octante.
Passo 7
Agora, vamos calcular o fluxo através dessas faces planas. No entanto, como o campo
tem componentes que se anulam em algumas direções, o fluxo através dessas faces será zero. Isso simplifica nosso cálculo, pois o fluxo total através da superfície fechada é igual ao fluxo apenas através da parte esférica
.
Passo 8
Portanto, o fluxo do campo
através da superfície
é igual ao volume
que calculamos:
Resposta
O fluxo do campo
através da superfície
é
.