Utilize a mudança de coordenadas:
(polares), para calcular os seguintes limites, caso existam
c)
c)
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Para isso, vamos usar coordenadas polares, que são úteis para analisar limites em duas variáveis quando nos aproximamos da origem. Precisaremos entender como converter coordenadas cartesianas para polares e conhecer a função hiperbólica seno (
).
Passo 2
Primeiro, fazemos a mudança de coordenadas para polares:
onde
é a distância até a origem e
é o ângulo. Com isso,
.
Passo 3
Substituímos na expressão do limite:
Agora, o limite em termos de
quando
será:
Passo 4
Lembramos que para valores próximos de zero, a função
pode ser aproximada por:
Portanto, quando
,
.
Passo 5
Substituindo a aproximação na expressão do limite:
Resposta
O limite é igual a
.