Utilize a mudança de coordenadas: lx=r cos theta y=r sen theta, r, theta in R (polares), para calcular os seguintes limites, caso existam
c) lim (x, y) (0,0) sinh (x^2+y^2)x^2+y^2

Passo 1

Vamos resolver o limite . Para isso, vamos usar coordenadas polares, que são úteis para analisar limites em duas variáveis quando nos aproximamos da origem. Precisaremos entender como converter coordenadas cartesianas para polares e conhecer a função hiperbólica seno ( ).

Passo 2

Primeiro, fazemos a mudança de coordenadas para polares:
x = r cos theta e y = r sin theta
onde é a distância até a origem e é o ângulo. Com isso, .

Passo 3

Substituímos na expressão do limite:
sinh (x^2+y^2)x^2+y^2 = sinh (r^2)r^2
Agora, o limite em termos de limr to 0 sinh (r^2)r^2 quando será:

Passo 4

Lembramos que para valores próximos de zero, a função sinh z approx z pode ser aproximada por:
Portanto, quando , .

Passo 5

Substituindo a aproximação na expressão do limite:
limr to 0 sinh (r^2)r^2 approx limr to 0 r^2r^2 = limr to 0 1 = 1

Resposta

O limite é igual a .

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