Para cada função abaixo, determine o contradomínio que a torne inversível e expresse sua inversa:

Passo 1

Então, a gente tem uma função definida por . A pergunta é para a gente descobrir qual deve ser o conjunto (o contradomínio) para que essa função seja inversível, ou seja, tenha uma função inversa. Além disso, a gente precisa encontrar essa função inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser inversível. Uma função é inversível quando cada valor de saída está associado a apenas um valor de entrada. Isso acontece quando a função é injeção, ou seja, não repete valores no contradomínio.

Passo 3

Para garantir que a função seja inversível, precisamos determinar o conjunto de modo que cada saída seja única. Olhando para a função , sabemos que sempre vai dar valores reais não negativos, já que está no intervalo .

Passo 4

Então, varia de a . Quando adicionamos 1, o menor valor que pode ter é (quando ) e vai até . Portanto, o conjunto deve ser para que a função seja inversível.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a função inversa . Para isso, trocamos por e resolvemos para :
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:

Resposta

O contradomínio que torna a função inversível é e a função inversa é:

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Seja . Determine .
Considere as funções e . Determine o domínio e as expressões para as funções e .
Seja . Determine quando .
Use transformações no gráfico para esboçar os gráficos das funções abaixo, destacando quais tipos de transformações estão sendo utilizados.