Para cada função abaixo, determine o contradomínio
que a torne inversível e expresse sua inversa:
Passo 1
Então, a gente tem uma função
definida por
. A pergunta é para a gente descobrir qual deve ser o conjunto
(o contradomínio) para que essa função seja inversível, ou seja, tenha uma função inversa. Além disso, a gente precisa encontrar essa função inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser inversível. Uma função é inversível quando cada valor de saída está associado a apenas um valor de entrada. Isso acontece quando a função é injeção, ou seja, não repete valores no contradomínio.
Passo 3
Para garantir que a função seja inversível, precisamos determinar o conjunto
de modo que cada saída
seja única. Olhando para a função
, sabemos que
sempre vai dar valores reais não negativos, já que
está no intervalo
.
Passo 4
Então,
varia de
a
. Quando adicionamos 1, o menor valor que
pode ter é
(quando
) e vai até
. Portanto, o conjunto
deve ser
para que a função seja inversível.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a função inversa
. Para isso, trocamos
por
e resolvemos para
:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
Resposta
O contradomínio
que torna a função inversível é
e a função inversa é:
Exercícios relacionados
Seja
. Determine
.
Considere as funções
e
. Determine o domínio e as expressões para as funções
e
.
Seja
. Determine
quando
.
Use transformações no gráfico para esboçar os gráficos das funções abaixo, destacando quais tipos de transformações estão sendo utilizados.