Seja
. Determine
quando
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o conjunto de números
que, quando colocados na função
, resultam em valores dentro do intervalo
. Basicamente, queremos descobrir quais são os
que fazem
ficar entre
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com funções envolvendo raízes quadradas e resolver inequações.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Precisamos garantir que as expressões dentro das raízes quadradas sejam não negativas, porque a raiz quadrada de números negativos não está definida nos números reais. Então, temos:
Isso significa que
. Portanto, nosso domínio é todos os números reais maiores ou iguais a zero.
Passo 3
Agora, queremos encontrar todos os
que satisfazem:
Vamos resolver essa dupla inequação separadamente.
Passo 4
Primeiro, resolvemos a parte
. Para simplificar, vamos chamar
. Então,
e
. A inequação fica:
Vamos isolar a raiz:
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Expandindo o lado direito:
Subtraindo
de ambos os lados:
Multiplicando tudo por 9 para eliminar os denominadores:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Dividindo por 6:
Lembrando que
, então:
Passo 5
Agora, vamos resolver a segunda parte da inequação:
.
Usando novamente
:
Isolando a raiz:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Expandindo o lado direito:
Subtraindo
de ambos os lados:
Subtraindo
de ambos os lados:
Como
:
Passo 6
Agora, juntando as duas partes que encontramos:
Isso significa que todos os valores de
entre
e
fazem com que
fique entre
e
.
Resposta
O conjunto
é
.
Exercícios relacionados
Para cada função abaixo, determine o contradomínio
que a torne inversível e expresse sua inversa:
Seja
. Determine
.
Use transformações no gráfico para esboçar os gráficos das funções abaixo, destacando quais tipos de transformações estão sendo utilizados.
Seja
a função dada por
. Mostre que
é bijetora.