Seja . Determine quando .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o conjunto de números que, quando colocados na função , resultam em valores dentro do intervalo . Basicamente, queremos descobrir quais são os que fazem ficar entre e . Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com funções envolvendo raízes quadradas e resolver inequações.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Precisamos garantir que as expressões dentro das raízes quadradas sejam não negativas, porque a raiz quadrada de números negativos não está definida nos números reais. Então, temos:
Isso significa que . Portanto, nosso domínio é todos os números reais maiores ou iguais a zero.

Passo 3

Agora, queremos encontrar todos os que satisfazem:
Vamos resolver essa dupla inequação separadamente.

Passo 4

Primeiro, resolvemos a parte . Para simplificar, vamos chamar . Então, e . A inequação fica:
Vamos isolar a raiz:
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Expandindo o lado direito:
Subtraindo de ambos os lados:
Multiplicando tudo por 9 para eliminar os denominadores:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Dividindo por 6:
Lembrando que , então:

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda parte da inequação: .
Usando novamente :
Isolando a raiz:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Expandindo o lado direito:
Subtraindo de ambos os lados:
Subtraindo de ambos os lados:
Como :

Passo 6

Agora, juntando as duas partes que encontramos:
Isso significa que todos os valores de entre e fazem com que fique entre e .

Resposta

O conjunto é .

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Para cada função abaixo, determine o contradomínio que a torne inversível e expresse sua inversa:
Seja . Determine .
Use transformações no gráfico para esboçar os gráficos das funções abaixo, destacando quais tipos de transformações estão sendo utilizados.
Seja a função dada por . Mostre que é bijetora.