Considere as funções f(x) = x / (x - 2) e g(x) = x^2. Determine o domínio e as expressões para as funções f o g, g o f e (f o g) * (g o f).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas funções: e . O exercício pede para a gente determinar o domínio dessas funções e encontrar as expressões para as composições , e também para o produto dessas duas composições, que é . Vamos precisar entender o que é domínio, como fazemos composição de funções e como multiplicar essas composições.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio de cada função individualmente. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está bem definida.
Para :
Aqui, o denominador não pode ser zero, então ou seja, . Então, o domínio de é todos os reais menos 2.
Para :
Essa é uma função polinomial e está definida para todos os números reais. Então, o domínio de é (todos os reais).

Passo 3

Agora, vamos encontrar , que significa . Isso quer dizer que vamos substituir na função .
Então,
Agora, vamos determinar o domínio dessa composição. O denominador não pode ser zero, então:
Além disso, o domínio de é limitado ao domínio de , que já é todos os reais, menos os valores que fazem o denominador zero. Então, o domínio de é menos e .

Passo 4

Vamos agora calcular , ou seja, . Isso significa que substituímos na função .
Então,
Para determinar o domínio dessa composição, precisamos que esteja definida e que também esteja definida. Já sabemos que não está definida quando . Além disso, como estamos elevando ao quadrado, não há restrições adicionais. Então, o domínio de é todos os reais menos 2.

Passo 5

Por fim, vamos calcular . Já temos as duas composições, então é só multiplicar as expressões que encontramos:
Agora, vamos determinar o domínio dessa expressão. Precisamos que nenhuma das partes do denominador seja zero:
e
Portanto, o domínio de é todos os reais menos , e 2.

Resposta

  • Domínio de :
  • Domínio de :
  • com domínio
  • com domínio
  • com domínio

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