Considere as funções
e
. Determine o domínio e as expressões para as funções
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas funções:
e
. O exercício pede para a gente determinar o domínio dessas funções e encontrar as expressões para as composições
,
e também para o produto dessas duas composições, que é
. Vamos precisar entender o que é domínio, como fazemos composição de funções e como multiplicar essas composições.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio de cada função individualmente. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está bem definida.
Para
:
Aqui, o denominador não pode ser zero, então ou seja,
. Então, o domínio de
é todos os reais menos 2.
Aqui, o denominador não pode ser zero, então
Para
:
Essa é uma função polinomial e está definida para todos os números reais. Então, o domínio de é
(todos os reais).
Essa é uma função polinomial e está definida para todos os números reais. Então, o domínio de
Passo 3
Agora, vamos encontrar
, que significa
. Isso quer dizer que vamos substituir
na função
.
Então,
Agora, vamos determinar o domínio dessa composição. O denominador não pode ser zero, então:
Além disso, o domínio de
é limitado ao domínio de
, que já é todos os reais, menos os valores que fazem o denominador zero. Então, o domínio de
é
menos
e
.
Passo 4
Vamos agora calcular
, ou seja,
. Isso significa que substituímos
na função
.
Então,
Para determinar o domínio dessa composição, precisamos que
esteja definida e que
também esteja definida. Já sabemos que
não está definida quando
. Além disso, como estamos elevando ao quadrado, não há restrições adicionais. Então, o domínio de
é todos os reais menos 2.
Passo 5
Por fim, vamos calcular
. Já temos as duas composições, então é só multiplicar as expressões que encontramos:
Agora, vamos determinar o domínio dessa expressão. Precisamos que nenhuma das partes do denominador seja zero:
e
Portanto, o domínio de
é todos os reais menos
,
e 2.
Resposta
- Domínio de
: - Domínio de
: -
com domínio -
com domínio -
com domínio
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Sejam
e
dois conjuntos não vazios. Dê um exemplo de função injetora que não é sobrejetora.
Use transformações no gráfico para esboçar os gráficos das funções abaixo, destacando quais tipos de transformações estão sendo utilizados.
Seja
. Determine
.
Para cada função abaixo, determine o contradomínio
que a torne inversível e expresse sua inversa: