Para cada função abaixo, determine o contradomínio que a torne inversível e expresse sua inversa:
c)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida de para um conjunto , onde . O objetivo aqui é descobrir qual deve ser esse conjunto para que a função seja inversível, ou seja, tenha uma função que “desfaça” ela. Além disso, a gente precisa encontrar essa função inversa. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções inversas e como determinar o contradomínio adequado.

Passo 2

Primeiro, para que uma função tenha inversa, ela precisa ser injetora e sobrejetora. Injetora significa que cada valor de entrada tem um único valor de saída, e sobrejetora significa que todo elemento do conjunto de chegada é atingido pela função. No nosso caso, é uma função crescente e, por isso, é injetora.

Passo 3

Agora, vamos determinar o contradomínio . O contradomínio ideal para que seja sobrejetora é justamente o imagem da função. Vamos achar a imagem de quando varia em .
Quando , .
Conforme aumenta, também aumenta sem limites, então vai de 1 até .
Portanto, a imagem de é , e esse deve ser o nosso conjunto .

Passo 4

Agora que sabemos que , vamos encontrar a função inversa . Para isso, trocamos por e resolvemos em relação a .
Começamos com:
Subtraímos 1 de ambos os lados:
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Então, a função inversa é:

Resposta

O contradomínio que torna inversível é e a função inversa é .

Exercícios relacionados

Para as funções abaixo encontre , e , sendo :
a)
Para as seguintes funções , decomponha-a como compostas de funções mais simples
h)
Para as seguintes funções , decomponha-a como compostas de funções mais simples
e)
Para as seguintes funções , decomponha-a como compostas de funções mais simples
i)