Para cada função abaixo, determine o contradomínio
que a torne inversível e expresse sua inversa:
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida de
para um conjunto
, onde
. O objetivo aqui é descobrir qual deve ser esse conjunto
para que a função seja inversível, ou seja, tenha uma função que “desfaça” ela. Além disso, a gente precisa encontrar essa função inversa. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções inversas e como determinar o contradomínio adequado.
Passo 2
Primeiro, para que uma função tenha inversa, ela precisa ser injetora e sobrejetora. Injetora significa que cada valor de entrada tem um único valor de saída, e sobrejetora significa que todo elemento do conjunto de chegada
é atingido pela função. No nosso caso,
é uma função crescente e, por isso, é injetora.
Passo 3
Agora, vamos determinar o contradomínio
. O contradomínio ideal para que
seja sobrejetora é justamente o imagem da função. Vamos achar a imagem de
quando
varia em
.
Quando
,
.
Conforme
aumenta,
também aumenta sem limites, então
vai de 1 até
.
Portanto, a imagem de
é
, e esse deve ser o nosso conjunto
.
Passo 4
Agora que sabemos que
, vamos encontrar a função inversa
. Para isso, trocamos
por
e resolvemos em relação a
.
Começamos com:
Subtraímos 1 de ambos os lados:
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Então, a função inversa é:
Resposta
O contradomínio
que torna
inversível é
e a função inversa é
.
Exercícios relacionados
Para as funções abaixo encontre
,
e
, sendo
:
a)
a)
Para as seguintes funções
, decomponha-a como compostas de funções mais simples
h)
h)
Para as seguintes funções
, decomponha-a como compostas de funções mais simples
e)
e)
Para as seguintes funções
, decomponha-a como compostas de funções mais simples
i)
i)