Para cada função abaixo, determine o contradomínio que a torne inversível e expresse sua inversa:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função , definida por . Nosso objetivo é determinar o contradomínio que torna essa função inversível e, em seguida, expressar a função inversa .

Passo 2

Para uma função ser inversível, ela precisa ser bijetora, ou seja, precisa ser injetora e sobrejetora. Como nossa função é uma função linear com coeficiente de diferente de zero, ela é injetora.

Passo 3

Agora, precisamos garantir que a função seja sobrejetora no contradomínio escolhido . Isso significa que todo elemento de deve ser atingido por algum no domínio [1,4).
Vamos calcular a imagem de no domínio:
Quando :
Quando se aproxima de 4 (mas não chega a 4):
Portanto, a imagem de é o intervalo . Então, para que seja sobrejetora, o contradomínio deve ser exatamente .

Passo 4

Agora que sabemos que , podemos encontrar a função inversa . Para isso, resolvemos a equação em relação a :
Portanto, a função inversa é:

Resposta

O contradomínio que torna inversível é e sua inversa é .

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Sejam e duas funções. Mostre que se e são sobrejetoras, então é sobrejetora.
Considere as funções e . Determine o domínio e as expressões para a função .
Use transformações no gráfico para esboçar os gráficos das funções abaixo, destacando quais tipos de transformações estão sendo utilizados.
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