Para cada função abaixo, determine o contradomínio
que a torne inversível e expresse sua inversa:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função
, definida por
. Nosso objetivo é determinar o contradomínio
que torna essa função inversível e, em seguida, expressar a função inversa
.
Passo 2
Para uma função ser inversível, ela precisa ser bijetora, ou seja, precisa ser injetora e sobrejetora. Como nossa função
é uma função linear com coeficiente de
diferente de zero, ela é injetora.
Passo 3
Agora, precisamos garantir que a função seja sobrejetora no contradomínio escolhido
. Isso significa que todo elemento de
deve ser atingido por algum
no domínio [1,4).
Vamos calcular a imagem de
no domínio:
Quando
:
Quando
se aproxima de 4 (mas não chega a 4):
Portanto, a imagem de
é o intervalo
. Então, para que
seja sobrejetora, o contradomínio
deve ser exatamente
.
Passo 4
Agora que sabemos que
, podemos encontrar a função inversa
. Para isso, resolvemos a equação
em relação a
:
Portanto, a função inversa é:
Resposta
O contradomínio
que torna
inversível é
e sua inversa é
.