Para cada função abaixo, determine o contradomínio
que a torne inversível e expresse sua inversa:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função
, definida por
. Nosso objetivo é determinar o contradomínio
que torna essa função inversível e, em seguida, expressar a função inversa
.
Passo 2
Para uma função ser inversível, ela precisa ser bijetora, ou seja, precisa ser injetora e sobrejetora. Como nossa função
é uma função linear com coeficiente de
diferente de zero, ela é injetora.
Passo 3
Agora, precisamos garantir que a função seja sobrejetora no contradomínio escolhido
. Isso significa que todo elemento de
deve ser atingido por algum
no domínio [1,4).
Vamos calcular a imagem de
no domínio:
Quando
:
Quando
se aproxima de 4 (mas não chega a 4):
Portanto, a imagem de
é o intervalo
. Então, para que
seja sobrejetora, o contradomínio
deve ser exatamente
.
Passo 4
Agora que sabemos que
, podemos encontrar a função inversa
. Para isso, resolvemos a equação
em relação a
:
Portanto, a função inversa é:
Resposta
O contradomínio
que torna
inversível é
e sua inversa é
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
duas funções. Mostre que se
e
são sobrejetoras, então
é sobrejetora.
Considere as funções
e
. Determine o domínio e as expressões para a função
.
Use transformações no gráfico para esboçar os gráficos das funções abaixo, destacando quais tipos de transformações estão sendo utilizados.
Use transformações no gráfico para esboçar os gráficos das funções abaixo, destacando quais tipos de transformações estão sendo utilizados.