Sejam
e
duas funções. Mostre que se
e
são sobrejetoras, então
é sobrejetora.
Passo 1
Vamos analisar o que o exercício está pedindo. Temos duas funções,
e
. O objetivo é mostrar que, se ambas as funções são sobrejetoras, ou seja, cobrem todo o conjunto de chegada, então a composição delas,
, também é sobrejetora. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser sobrejetora e como funciona a composição de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função sobrejetora. Uma função
é sobrejetora se, para todo elemento
em
, existe pelo menos um elemento
em
tal que
. Em outras palavras, a função
“cobre” todo o conjunto
.
Passo 3
Agora, vamos considerar a composição das funções
e
, que é
. Isso significa que para cada elemento
em
, aplicamos
primeiro e depois
, ou seja,
.
Passo 4
Como
é sobrejetora, para todo elemento
em
, existe pelo menos um elemento
em
tal que
. Isso garante que
cobre todo o conjunto
.
Passo 5
Da mesma forma, como
é sobrejetora, para todo elemento
em
, existe pelo menos um elemento
em
tal que
. Isso garante que
cobre todo o conjunto
.
Passo 6
Agora, para mostrar que
é sobrejetora, pegamos qualquer elemento
em
. Como
é sobrejetora, existe um
em
tal que
. E como
é sobrejetora, existe um
em
tal que
.
Passo 7
Com isso, temos que
. Portanto, para todo
em
, existe um
em
tal que
, ou seja,
é sobrejetora.
Resposta
Assim, demonstramos que a composição
é uma função sobrejetora.
Exercícios relacionados
Considere as funções
e
. Determine o domínio e as expressões para a função
.
Se
é uma função real com domínio
, determine o domínio das funções
e
.
Para cada função abaixo, determine o contradomínio
que a torne inversível e expresse sua inversa:
Use transformações no gráfico para esboçar os gráficos das funções abaixo, destacando quais tipos de transformações estão sendo utilizados.