Sejam e duas funções. Mostre que se e são sobrejetoras, então é sobrejetora.

Passo 1

Vamos analisar o que o exercício está pedindo. Temos duas funções, e . O objetivo é mostrar que, se ambas as funções são sobrejetoras, ou seja, cobrem todo o conjunto de chegada, então a composição delas, , também é sobrejetora. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser sobrejetora e como funciona a composição de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo elemento em , existe pelo menos um elemento em tal que . Em outras palavras, a função “cobre” todo o conjunto .

Passo 3

Agora, vamos considerar a composição das funções e , que é . Isso significa que para cada elemento em , aplicamos primeiro e depois , ou seja, .

Passo 4

Como é sobrejetora, para todo elemento em , existe pelo menos um elemento em tal que . Isso garante que cobre todo o conjunto .

Passo 5

Da mesma forma, como é sobrejetora, para todo elemento em , existe pelo menos um elemento em tal que . Isso garante que cobre todo o conjunto .

Passo 6

Agora, para mostrar que é sobrejetora, pegamos qualquer elemento em . Como é sobrejetora, existe um em tal que . E como é sobrejetora, existe um em tal que .

Passo 7

Com isso, temos que . Portanto, para todo em , existe um em tal que , ou seja, é sobrejetora.

Resposta

Assim, demonstramos que a composição é uma função sobrejetora.

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Considere as funções e . Determine o domínio e as expressões para a função .
Se é uma função real com domínio , determine o domínio das funções e .
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Use transformações no gráfico para esboçar os gráficos das funções abaixo, destacando quais tipos de transformações estão sendo utilizados.