Considere as funções
e
. Determine o domínio e as expressões para a função
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas funções:
e
O objetivo é determinar o domínio da função composta
e também encontrar a expressão dessa função. Para isso, vamos precisar conhecer os conceitos de composição de funções e domínio de uma função.
Passo 2
Vamos começar encontrando a expressão da função composta
. A composição de funções
significa que vamos substituir a função
na função
. Assim:
Então, a expressão para
é:
Passo 3
Agora, vamos determinar o domínio da função composta
. O domínio de uma função composta depende dos domínios das funções envolvidas e das operações realizadas.
Primeiro, vamos analisar o domínio de
. Para que as raízes quadradas sejam reais, os radicandos devem ser maiores ou iguais a zero:
Portanto, o domínio de
é o intervalo:
Passo 4
Agora, vamos considerar a função
. Como
está dentro da função
, precisamos que
esteja no domínio de
. Ou seja, devemos ter:
Vamos resolver essas desigualdades:
Passo 5
Agora, combinando as duas condições obtidas:
Isso significa que:
Portanto, o domínio da função composta
é a união desses intervalos:
Resposta
O domínio da função composta
é:
E a expressão da função composta é:
Exercícios relacionados
Se
é uma função real com domínio
, determine o domínio das funções
e
.
Seja
a função dada pela relação
. Descreva
por meio de um diagrama, determinando o domínio de
, a imagem de
os conjuntos
.
Sejam
e
duas funções. Mostre que se
e
são sobrejetoras, então
é sobrejetora.
Para cada função abaixo, determine o contradomínio
que a torne inversível e expresse sua inversa: