Considere as funções e . Determine o domínio e as expressões para a função .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas funções:
e
O objetivo é determinar o domínio da função composta e também encontrar a expressão dessa função. Para isso, vamos precisar conhecer os conceitos de composição de funções e domínio de uma função.

Passo 2

Vamos começar encontrando a expressão da função composta . A composição de funções significa que vamos substituir a função na função . Assim:
Então, a expressão para é:

Passo 3

Agora, vamos determinar o domínio da função composta . O domínio de uma função composta depende dos domínios das funções envolvidas e das operações realizadas.
Primeiro, vamos analisar o domínio de . Para que as raízes quadradas sejam reais, os radicandos devem ser maiores ou iguais a zero:
Portanto, o domínio de é o intervalo:

Passo 4

Agora, vamos considerar a função . Como está dentro da função , precisamos que esteja no domínio de . Ou seja, devemos ter:
Vamos resolver essas desigualdades:

Passo 5

Agora, combinando as duas condições obtidas:
Isso significa que:
Portanto, o domínio da função composta é a união desses intervalos:

Resposta

O domínio da função composta é:
E a expressão da função composta é:

Exercícios relacionados

Se é uma função real com domínio , determine o domínio das funções e .
Seja a função dada pela relação . Descreva por meio de um diagrama, determinando o domínio de , a imagem de os conjuntos .
Sejam e duas funções. Mostre que se e são sobrejetoras, então é sobrejetora.
Para cada função abaixo, determine o contradomínio que a torne inversível e expresse sua inversa: