Considere as funções f(x) = raiz(x - 1) - raiz(2 - x) e g(x) = x^2. Determine o domínio e as expressões para a função f(g).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas funções:
e
O objetivo é determinar o domínio da função composta f(g) e também encontrar a expressão dessa função. Para isso, vamos precisar conhecer os conceitos de composição de funções e domínio de uma função.

Passo 2

Vamos começar encontrando a expressão da função composta f(g). A composição de funções f(g) significa que vamos substituir a função g(x) na função f(x). Assim:
Então, a expressão para f(g(x)) é:

Passo 3

Agora, vamos determinar o domínio da função composta f(g). O domínio de uma função composta depende dos domínios das funções envolvidas e das operações realizadas.
Primeiro, vamos analisar o domínio de f(x). Para que as raízes quadradas sejam reais, os radicandos devem ser maiores ou iguais a zero:
Portanto, o domínio de f(x) é o intervalo:

Passo 4

Agora, vamos considerar a função . Como g(x) está dentro da função f, precisamos que g(x) esteja no domínio de f(x). Ou seja, devemos ter:
Vamos resolver essas desigualdades:

Passo 5

Agora, combinando as duas condições obtidas:
Isso significa que:
Portanto, o domínio da função composta f(g) é a união desses intervalos:

Resposta

O domínio da função composta f(g) é:
E a expressão da função composta é:

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