Para cada função abaixo, determine o contradomínio que a torne inversível e expresse sua inversa:
e)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem uma função definida no intervalo e queremos encontrar o contradomínio que faz essa função ser inversível. Além disso, precisamos expressar a função inversa de . Para isso, vamos usar conceitos de funções inversas e calcular o contradomínio.

Passo 2

Primeiro, para uma função ser inversível, ela precisa ser injetora no intervalo dado. Isso significa que a função deve ser estritamente crescente ou estritamente decrescente nesse intervalo, sem repetições de valores. Nossa função é , que é uma parábola. Vamos verificar se ela é crescente ou decrescente em .

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função para entender seu comportamento:
Agora, avaliamos a derivada nos limites do intervalo:
  • Em :
  • Em :
A derivada é não negativa no intervalo , o que significa que a função é crescente nesse intervalo. Logo, é injetora e, portanto, inversível nesse domínio.

Passo 4

Agora, vamos determinar o contradomínio que faz ser inversível. Isso corresponde ao conjunto imagem da função no intervalo dado.
Calculamos nos extremos do intervalo:
  • Em :
  • Em :
Portanto, o contradomínio é o intervalo .

Passo 5

Vamos agora encontrar a função inversa . Para isso, substituímos por e resolvemos para :
Rearranjando a equação:
Essa é uma equação quadrática em . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e . Calculando o discriminante:
Assim, a solução para é:
Como a função é crescente no intervalo dado, escolhemos apenas a solução com o sinal positivo para manter a consistência na inversão:

Resposta

O contradomínio é e a função inversa é

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Para as funções abaixo encontre , e , sendo :
b)
d) Esboce o gráfico de
c) Esboce o gráfico de .
Para cada par de funções abaixo encontre o domínio e as expressões de , e
d)