Para cada função abaixo, determine o contradomínio
que a torne inversível e expresse sua inversa:
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem uma função
definida no intervalo
e queremos encontrar o contradomínio
que faz essa função ser inversível. Além disso, precisamos expressar a função inversa de
. Para isso, vamos usar conceitos de funções inversas e calcular o contradomínio.
Passo 2
Primeiro, para uma função ser inversível, ela precisa ser injetora no intervalo dado. Isso significa que a função deve ser estritamente crescente ou estritamente decrescente nesse intervalo, sem repetições de valores. Nossa função é
, que é uma parábola. Vamos verificar se ela é crescente ou decrescente em
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada da função para entender seu comportamento:
Agora, avaliamos a derivada nos limites do intervalo:
-
Em
: -
Em
:
A derivada é não negativa no intervalo
, o que significa que a função é crescente nesse intervalo. Logo,
é injetora e, portanto, inversível nesse domínio.
Passo 4
Agora, vamos determinar o contradomínio
que faz
ser inversível. Isso corresponde ao conjunto imagem da função no intervalo dado.
Calculamos
nos extremos do intervalo:
-
Em
: -
Em
:
Portanto, o contradomínio
é o intervalo
.
Passo 5
Vamos agora encontrar a função inversa
. Para isso, substituímos
por
e resolvemos para
:
Rearranjando a equação:
Essa é uma equação quadrática em
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
. Calculando o discriminante:
Assim, a solução para
é:
Como a função
é crescente no intervalo dado, escolhemos apenas a solução com o sinal positivo para manter a consistência na inversão:
Resposta
O contradomínio
é
e a função inversa é
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Para as funções abaixo encontre
,
e
, sendo
:
b)
b)
d) Esboce o gráfico de
c) Esboce o gráfico de
.
Para cada par de funções
abaixo encontre o domínio e as expressões de
,
e
d)
d)