Para cada função abaixo, determine o contradomínio C que a torne inversível e expresse sua inversa:
d) f: (-infinito, -3/2] -> C, f(x) = 2x^2 + x - 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente achar o contradomínio que faz com que a função seja inversível e, depois, escrever a função inversa. A função que temos é com o domínio . Para resolver isso, vamos trabalhar com funções quadráticas e entender como torná-las inversíveis restringindo o domínio.

Passo 2

Primeiro, é importante lembrar que uma função é inversível se ela for biunívoca, ou seja, se for injetora (não repete valores) e sobretida (cobre todo o contradomínio). As funções quadráticas, como , geralmente têm a forma de parábolas, que não são inversíveis em todo o seu domínio porque não são injetoras. Mas se a gente restringir o domínio a um intervalo onde a função é estritamente crescente ou decrescente, aí sim ela pode ser inversível.

Passo 3

Como o domínio dado é , vamos verificar se nessa parte a função é crescente ou decrescente. Calculando a derivada: . Quando , , que é sempre negativo. Isso significa que a função é estritamente decrescente nesse intervalo, garantindo que seja injetora. Agora, precisamos encontrar o intervalo dos valores que assume nesse domínio para definir .

Passo 4

Vamos encontrar o valor máximo de em :
Como a função é decrescente, os valores de vão de 3 até menos infinito. Portanto, o contradomínio que torna inversível é .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a inversa de . Começamos com:
Vamos resolver para :
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Como a função é decrescente no domínio dado, escolhemos o sinal negativo:

Resposta

O contradomínio é e a função inversa é:

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