Para cada função abaixo, determine o contradomínio
que a torne inversível e expresse sua inversa:
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente achar o contradomínio
que faz com que a função seja inversível e, depois, escrever a função inversa. A função que temos é
com o domínio
. Para resolver isso, vamos trabalhar com funções quadráticas e entender como torná-las inversíveis restringindo o domínio.
Passo 2
Primeiro, é importante lembrar que uma função é inversível se ela for biunívoca, ou seja, se for injetora (não repete valores) e sobretida (cobre todo o contradomínio). As funções quadráticas, como
, geralmente têm a forma de parábolas, que não são inversíveis em todo o seu domínio porque não são injetoras. Mas se a gente restringir o domínio a um intervalo onde a função é estritamente crescente ou decrescente, aí sim ela pode ser inversível.
Passo 3
Como o domínio dado é
, vamos verificar se nessa parte a função é crescente ou decrescente. Calculando a derivada:
. Quando
,
, que é sempre negativo. Isso significa que a função é estritamente decrescente nesse intervalo, garantindo que seja injetora. Agora, precisamos encontrar o intervalo dos valores que
assume nesse domínio para definir
.
Passo 4
Vamos encontrar o valor máximo de
em
:
Como a função é decrescente, os valores de
vão de 3 até menos infinito. Portanto, o contradomínio
que torna
inversível é
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a inversa de
. Começamos com:
Vamos resolver para
:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Como a função é decrescente no domínio dado, escolhemos o sinal negativo:
Resposta
O contradomínio
é
e a função inversa é:
Exercícios relacionados
Para as funções abaixo encontre
,
e
, sendo
:
c)
c)
Para as seguintes funções
, decomponha-a como compostas de funções mais simples
k)
k)
Denotando por
a função identidade, mostre que para toda função
vale que:
b) Se é inversível, então
e
b) Se
Para as seguintes funções
, decomponha-a como compostas de funções mais simples
h)
h)