Denotando por imath a função identidade, mostre que para toda função f vale que:
b) Se f é inversível, então f o f^(-1) = imath e f^-1 o f = i

Passo 1

Neste exercício, vamos mostrar que se uma função é inversível, então a composição de com sua inversa resulta na função identidade , e vice-versa. Vamos precisar entender o conceito de funções inversas e como funciona a composição de funções para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser inversível. Uma função é inversível se existe uma função tal que, quando você compõe com , o resultado é a função identidade . A função identidade é aquela que, para qualquer entrada , retorna exatamente o mesmo , ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos mostrar que . A composição significa que você primeiro aplica a um elemento e depois aplica ao resultado. Então, para qualquer :
Isso mostra que de fato retorna , que é a definição da função identidade .

Passo 4

De maneira semelhante, vamos mostrar que . Aqui, você primeiro aplica a um elemento e depois aplica ao resultado. Para qualquer :
Mais uma vez, vemos que a composição retorna , confirmando que é a função identidade .

Resposta

Portanto, se é inversível, então e .

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