Denotando por
a função identidade, mostre que para toda função
vale que:
b) Se
é inversível, então
e
b) Se
Passo 1
Neste exercício, vamos mostrar que se uma função
é inversível, então a composição de
com sua inversa
resulta na função identidade
, e vice-versa. Vamos precisar entender o conceito de funções inversas e como funciona a composição de funções para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser inversível. Uma função
é inversível se existe uma função
tal que, quando você compõe
com
, o resultado é a função identidade
. A função identidade é aquela que, para qualquer entrada
, retorna exatamente o mesmo
, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que
. A composição
significa que você primeiro aplica
a um elemento e depois aplica
ao resultado. Então, para qualquer
:
Isso mostra que
de fato retorna
, que é a definição da função identidade
.
Passo 4
De maneira semelhante, vamos mostrar que
. Aqui, você primeiro aplica
a um elemento e depois aplica
ao resultado. Para qualquer
:
Mais uma vez, vemos que a composição retorna
, confirmando que
é a função identidade
.
Resposta
Portanto, se
é inversível, então
e
.
Exercícios relacionados
Para cada função abaixo, determine o contradomínio
que a torne inversível e expresse sua inversa:
d)
d)
Para as funções abaixo encontre
,
e
, sendo
:
c)
c)
Para as seguintes funções
, decomponha-a como compostas de funções mais simples
h)
h)
Para as funções abaixo encontre
,
e
, sendo
:
a)
a)