Para cada função abaixo, determine um domínio que a torne inversível e expresse sua inversa:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar um domínio para a função que a torne inversível e depois expressar essa inversa. Pra isso, vamos precisar entender sobre funções inversas e domínios onde a função original é estritamente crescente ou decrescente. Isso porque uma função só é inversível se cada saída tiver apenas uma entrada correspondente, ou seja, se for injeção.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a análise. Podemos completar o quadrado:
Isso mostra que a função é uma parábola com vértice em .

Passo 3

Para que a função seja inversível, precisamos que ela seja monótona (sempre aumentando ou sempre diminuindo). Observando a parábola, sabemos que:
  • Para , a função está crescente.
  • Para , a função está decrescente.
Então, podemos escolher qualquer um desses intervalos como domínio . Vamos escolher para manter o vocabulário positivo (crescimento).

Passo 4

Agora que escolhemos , vamos encontrar a inversa. Começamos substituindo por :
Agora, resolvemos para :
Como escolhemos , a raiz positiva é a única solução válida.

Resposta

A função é inversível no domínio e sua inversa é:

Exercícios relacionados

Considere as funções e . Determine o domínio máximo de definição para e .
Sejam e dois conjuntos não vazios. Dê um exemplo de função bijetora.
Use transformações no gráfico para esboçar os gráficos das funções abaixo, destacando quais tipos de transformações estão sendo utilizados.
Use transformações no gráfico para esboçar os gráficos das funções abaixo, destacando quais tipos de transformações estão sendo utilizados.