Para cada função abaixo, determine um domínio
que a torne inversível e expresse sua inversa:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar um domínio
para a função
que a torne inversível e depois expressar essa inversa. Pra isso, vamos precisar entender sobre funções inversas e domínios onde a função original é estritamente crescente ou decrescente. Isso porque uma função só é inversível se cada saída tiver apenas uma entrada correspondente, ou seja, se for injeção.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de uma forma que facilite a análise. Podemos completar o quadrado:
Isso mostra que a função é uma parábola com vértice em
.
Passo 3
Para que a função seja inversível, precisamos que ela seja monótona (sempre aumentando ou sempre diminuindo). Observando a parábola, sabemos que:
- Para
, a função está crescente. - Para
, a função está decrescente.
Então, podemos escolher qualquer um desses intervalos como domínio
. Vamos escolher
para manter o vocabulário positivo (crescimento).
Passo 4
Agora que escolhemos
, vamos encontrar a inversa. Começamos substituindo
por
:
Agora, resolvemos para
:
Como escolhemos
, a raiz positiva é a única solução válida.
Resposta
A função
é inversível no domínio
e sua inversa é: