Para cada função abaixo, determine um domínio D que a torne inversível e expresse sua inversa: f: D -> [-2, +infinito), f(x) = x^2 - 4x + 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar um domínio para a função que a torne inversível e depois expressar essa inversa. Pra isso, vamos precisar entender sobre funções inversas e domínios onde a função original é estritamente crescente ou decrescente. Isso porque uma função só é inversível se cada saída tiver apenas uma entrada correspondente, ou seja, se for injeção.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a análise. Podemos completar o quadrado:
Isso mostra que a função é uma parábola com vértice em .

Passo 3

Para que a função seja inversível, precisamos que ela seja monótona (sempre aumentando ou sempre diminuindo). Observando a parábola, sabemos que:
  • Para , a função está crescente.
  • Para , a função está decrescente.
Então, podemos escolher qualquer um desses intervalos como domínio . Vamos escolher para manter o vocabulário positivo (crescimento).

Passo 4

Agora que escolhemos , vamos encontrar a inversa. Começamos substituindo por :
Agora, resolvemos para :
Como escolhemos , a raiz positiva é a única solução válida.

Resposta

A função é inversível no domínio e sua inversa é:

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