Para cada função abaixo, determine o domínio máximo e o contradomínio para que ela seja bijetora. Neste caso, encontre uma expressão analítica para .
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é para cada uma dessas funções, a gente precisa descobrir qual é o domínio máximo que faz a função ser bijetora (ou seja, que é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo) e identificar o contradomínio adequado. Depois disso, vamos encontrar a expressão analítica para a função inversa, . Para isso, vamos precisar entender bem o que é domínio, contradomínio, função injetora, sobrejetora e como encontrar uma função inversa. Vamos lá!
Passo 2
a)
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero:
Então, o domínio máximo é .
Agora, para que a função seja bijetora, ela precisa ser injetora (cada entrada tem uma única saída) e sobrejetora (cobre todo o contradomínio). Como a raiz quadrada é uma função crescente, desde que definamos o contradomínio de acordo, a função será bijetora.
O contradomínio adequado é o conjunto de todas as saídas possíveis da função:
Então, o contradomínio é .
Agora, vamos encontrar a função inversa:
Então, a função inversa é:
Passo 3
b)
Vamos encontrar o domínio da função. O denominador não pode ser zero:
Então, o domínio é todos os reais exceto .
Para que a função seja bijetora, ela precisa ser injetora e sobrejetora. Como essa é uma função racional de primeiro grau, ela é injetora se o denominador não for zero e o coeficiente de no numerador e denominador for diferente, o que já estamos garantindo.
O contradomínio será todos os reais exceto o valor que a função não atinge, que é a assíntota horizontal .
Agora, vamos encontrar a função inversa:
Então, a função inversa é:
Passo 4
c)
Primeiro, vamos determinar o domínio. O que está dentro do logaritmo natural, , precisa ser positivo:
Além disso, o logaritmo não pode ser zero, pois está no denominador:
Resolvendo :
Portanto, o domínio é ou , excluindo .
Para que a função seja bijetora, ela deve ser injetora e sobrejetora dentro desse domínio.
Agora, vamos encontrar a função inversa:
Então, a função inversa é:
Passo 5
d)
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. Os expoentes funcionam para todo real, então o domínio é todo .
Para que a função seja bijetora, ela precisa ser injetora e sobrejetora. A funç��o exponencial é estritamente crescente, e a composição de funções crescentes também é crescente, então a função é injetora. O contradomínio adequado será , mas na verdade, como varia em , o contradomínio será .
Agora, vamos encontrar a função inversa:
Então, a função inversa é:
Resposta
As expressões analíticas para as funções inversas são: