Faça os gráficos das seguintes funções modulares:
a)
b)
c)
d)
e) f(x) = |x^2 - x| + |x^2 + 1|
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de graficar funções modulares. O conteúdo aqui envolve funções absolutas, que basicamente transformam qualquer número negativo em positivo. Para resolver isso, vamos analisar cada função separadamente, identificar seus pontos-chave e desenhar seus gráficos passo a passo.
Passo 2
a)
Primeiro, vamos olhar para a função . A função valor absoluto pega qualquer número e retorna seu valor positivo.
Pontos-chave:
Quando , .
Quando , .
Gráfico:
Para , a linha sobe com inclinação 1.
Para , a linha desce com inclinação -1, mas como o valor é positivo, a linha fica acima do eixo x.
O gráfico forma um “V” com o ponto de corte na origem (0,0).
Passo 3
b)
Agora, vamos para . Essa função é a soma de duas funções valor absoluto.
Pontos-chave:
Identificamos os pontos onde cada valor absoluto muda de comportamento: e .
Intervalos a considerar:
Cálculos:
Para :
Para :
Para :
Gráfico:
Para , a linha desce com inclinação -2 até o ponto (0,1).
De a , a função é constante em 1.
Para , a linha sobe com inclinação 2.
Passo 4
c)
Vamos resolver . Aqui, temos três funções valor absoluto.
Pontos-chave:
Onde cada valor absoluto muda: , e .
Intervalos a considerar:
Cálculos:
Para :
Para :
Para :
Para :
Gráfico:
Para , a linha desce com inclinação -3.
De a , a linha desce com inclinação -1.
De a , a linha sobe com inclinação 1.
Para , a linha sobe com inclinação 3.
Passo 5
d)
Agora, vamos para . Essa função envolve um polinômio dentro do valor absoluto e um deslocamento vertical.
Análise da expressão dentro do valor absoluto:
As raízes são e .
A parábola está abaixo do eixo x entre e acima fora desse intervalo.
Valores absolutos:
Para ou :
Para :
Função completa:
Isso desloca o gráfico da função para cima em 3 unidades.
Gráfico:
Para ou , o gráfico segue a parábola deslocada para cima.
Entre e , o gráfico segue deslocado para cima.
Vértices importantes:
No ponto mínimo da parábola original , que é em , temos:
Passo 6
e)
Por fim, vamos resolver . Aqui, temos duas funções valor absoluto envolvendo polinômios.
Análise das expressões dentro dos valores absolutos:
Raízes: e
A parábola está abaixo do eixo x entre e acima fora desse intervalo.
Sempre positivo, pois é não negativo e 1 é positivo.
Portanto, para todo .
Função completa:
Simplificação por intervalos:
Para ou :
Para :
Gráfico:
Para ou , a função é uma parábola com coeficiente positivo, indicando que abre para cima.
Entre e , a função é uma linha reta com inclinação 1.
Vértices importantes:
Em :
Em :
Resposta
Prontinho! Agora você tem os gráficos e as explicações passo a passo para cada uma das funções modulares propostas no exercício.