Para as seguintes funções: os intervalos onde a função é crescente ou decrescente. Identifique os máximos e mínimos locais. Mostre a estrutura de concavidade e todos os pontos de inflexão.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem a função e precisa descobrir onde ela está crescendo ou decrescendo, identificar os máximos e mínimos locais, entender a concavidade e encontrar os pontos de inflexão. Para isso, vamos usar cálculo, especificamente as derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função, . A derivada primeira nos ajuda a saber onde a função está aumentando ou diminuindo.
Calculando cada termo:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de onde ou não existe. Esses pontos são potenciais candidatos a máximos ou mínimos locais.
Resolvendo :
Factorando:
Então, ou
Resolvendo usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, os pontos críticos são , e .
Passo 4
Vamos analisar o sinal da derivada primeira em cada intervalo determinado pelos pontos críticos para saber onde a função está crescendo ou decrescendo.
Para : Escolhemos (positivo)
Para : Escolhemos (negativo)
Para : Escolhemos (negativo)
Para : Escolhemos (positivo)
Passo 5
Com base no sinal da derivada, podemos identificar onde a função está crescente ou decrescente:
Crescente: e
Decrescente: e
Passo 6
Agora, vamos identificar os máximos e mínimos locais usando os pontos críticos e o comportamento da derivada:
Em : A derivada passa de positiva para negativa, indicando um máximo local.
Em : A derivada passa de negativa para negativa, sem mudança de concavidade dos sinais, portanto, nenhum extremo.
Em : A derivada passa de negativa para positiva, indicando um mínimo local.
Passo 7
Vamos encontrar a derivada segunda, , para analisar a concavidade e os pontos de inflexão.
Calculando cada termo:
Passo 8
Para encontrar os pontos de inflexão, resolvemos :
Factorando:
Então, ou
Resolvendo usando Bhaskara:
Aproximadamente, e
Passo 9
Vamos analisar o sinal da derivada segunda nos intervalos para determinar a concavidade:
Para : → Concava para cima
Entre : → Concava para baixo
Entre : → Concava para baixo
Para : → Concava para cima
Os pontos onde a concavidade muda são os pontos de inflexão: , , e