Para as seguintes funções: os intervalos onde a função é crescente ou decrescente. Identifique os máximos e mínimos locais. Mostre a estrutura de concavidade e todos os pontos de inflexão.
f(x) = 8 x^5 - 5 x^4 - 20 x^3

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem a função e precisa descobrir onde ela está crescendo ou decrescendo, identificar os máximos e mínimos locais, entender a concavidade e encontrar os pontos de inflexão. Para isso, vamos usar cálculo, especificamente as derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função, . A derivada primeira nos ajuda a saber onde a função está aumentando ou diminuindo.
Calculando cada termo:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de onde ou não existe. Esses pontos são potenciais candidatos a máximos ou mínimos locais.
Resolvendo :
Factorando:
Então, ou
Resolvendo usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, os pontos críticos são , e .

Passo 4

Vamos analisar o sinal da derivada primeira em cada intervalo determinado pelos pontos críticos para saber onde a função está crescendo ou decrescendo.
  • Para : Escolhemos
    (positivo)
  • Para : Escolhemos
    (negativo)
  • Para : Escolhemos
    (negativo)
  • Para : Escolhemos
    (positivo)

Passo 5

Com base no sinal da derivada, podemos identificar onde a função está crescente ou decrescente:
  • Crescente: e
  • Decrescente: e

Passo 6

Agora, vamos identificar os máximos e mínimos locais usando os pontos críticos e o comportamento da derivada:
  • Em : A derivada passa de positiva para negativa, indicando um máximo local.
  • Em : A derivada passa de negativa para negativa, sem mudança de concavidade dos sinais, portanto, nenhum extremo.
  • Em : A derivada passa de negativa para positiva, indicando um mínimo local.

Passo 7

Vamos encontrar a derivada segunda, , para analisar a concavidade e os pontos de inflexão.
Calculando cada termo:

Passo 8

Para encontrar os pontos de inflexão, resolvemos :
Factorando:
Então, ou
Resolvendo usando Bhaskara:
Aproximadamente, e

Passo 9

Vamos analisar o sinal da derivada segunda nos intervalos para determinar a concavidade:
  • Para : Concava para cima
  • Entre : Concava para baixo
  • Entre : Concava para baixo
  • Para : Concava para cima
Os pontos onde a concavidade muda são os pontos de inflexão: , , e

Resposta

  • Intervalos de crescimento: e
  • Intervalos de decrescimento: e
  • Máximo local em
  • Mínimo local em
  • Concavidade para cima em e
  • Concavidade para baixo entre
  • Pontos de inflexão em , , e

Exercícios relacionados

Faça os gráficos das seguintes funções modulares:
a) f(x) = |x|
b) f(x) = |x| + |x - 1|
c) f(x) = |x| + |x - 1 + |x - 2||
d) f(x) = |x^2 - x| + 3
e) f(x) = |x^2 - x| + |x^2 + 1|
Para cada função abaixo, determine o domínio máximo e o contradomínio para que ela seja bijetora. Neste caso, encontre uma expressão analítica para f^-1.
a) f(x) = raiz(x + 1) - 2
b) f(x) = (2x + 3) / (1 - 5x)
c) f(x) = 2 + 1 / ln(2 + 1/x)
d) f(x)=e^(e^(3*(x^3+1)))
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Definição de assíntota oblíqua.
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Definição de assíntota vertical.