Dadas as funções f(x) = sen x e g(x) = pi [[x]]^1, determine os domínios e as imagens das funções compostas f(g) e g(f).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções: e . Nosso objetivo é encontrar os domínios e as imagens das funções compostas e . Para isso, vamos precisar entender o que cada função faz e como compô-las.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções individualmente.
  • Função :
    • Domínio: Todos os números reais, já que o seno está definido para qualquer .
    • Imagem: O seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja, .
  • Função :
    • Aqui, representa a função piso ou parte inteira, que retorna o maior inteiro menor ou igual a .
    • Domínio: Também todos os números reais, pois a função piso é definida para qualquer .
    • Imagem: Multiplicando a parte inteira por , a imagem será vezes qualquer número inteiro, ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos compor as funções começando com , que significa .
  • Composição .
  • Sabendo que é inteiro, , onde é inteiro.
  • O seno de múltiplos inteiros de é sempre 0, pois para qualquer inteiro .
Conclusão para :
  • Domínio: Todos os números reais.
  • Imagem: Apenas o valor 0, ou seja, .

Passo 4

Agora vamos para a composição , que significa .
  • Composição .
  • Como está sempre entre -1 e 1, a parte inteira pode ser:
    • -1, se estiver entre -1 e 0 (exclusivo).
    • 0, se for exatamente 0 ou estiver entre 0 e 1.
Então, ou , ou seja, pode ser -π ou 0.
Conclusão para :
  • Domínio: Todos os números reais.
  • Imagem: Os valores -π e 0, ou seja, .

Resposta

Para as funções compostas:
  • :
    • Domínio: (todos os números reais).
    • Imagem: .
  • :
    • Domínio: (todos os números reais).
    • Imagem: .

Exercícios relacionados

Para cada par de funções f, g abaixo encontre o domínio e as expressões de f circ g, f circ f, g circ f e g circ g.
a) f: R R, f(x)=x^3
a) g:[1, infty) R, g(x)=raizx-1
b) & f: R^* R, f(x)=-1x & g:(-infty, 2] R, g(x)=raiz2-x
c) f: R^* R, f(x)=1x
g: R backslash2,3 R, g(x)=1(x-2)(x-3)
d) llf: R R, f(x)=sen(x) g: R+ R, & g(x)=raizx
Negue as seguintes proposições:
(e) Existe um número natural n tal que n^2 é par e divisível por 3 .
Sabendo que uma função f: R -> R é par, o que podemos concluir sobre funções: 2 f(x), f(x) + 3, f(x - 1) e |f(x)| ? E se f for uma função ímpar?
Para cada função abaixo, determine o domínio máximo e o contradomínio para que ela seja bijetora. Neste caso, encontre uma expressão analítica para f^-1.
a) f(x) = raiz(x + 1) - 2
b) f(x) = (2x + 3) / (1 - 5x)
c) f(x) = 2 + 1 / ln(2 + 1/x)
d) f(x)=e^(e^(3*(x^3+1)))