Dadas as funções
e
, determine os domínios e as imagens das funções compostas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções:
e
. Nosso objetivo é encontrar os domínios e as imagens das funções compostas
e
. Para isso, vamos precisar entender o que cada função faz e como compô-las.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as funções individualmente.
-
Função
: - Domínio: Todos os números reais, já que o seno está definido para qualquer
. - Imagem: O seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja,
.
- Domínio: Todos os números reais, já que o seno está definido para qualquer
-
Função
: - Aqui,
representa a função piso ou parte inteira, que retorna o maior inteiro menor ou igual a . - Domínio: Também todos os números reais, pois a função piso é definida para qualquer
. - Imagem: Multiplicando a parte inteira por
, a imagem será vezes qualquer número inteiro, ou seja, .
- Aqui,
Passo 3
Agora, vamos compor as funções começando com
, que significa
.
- Composição
. - Sabendo que
é inteiro, , onde é inteiro. - O seno de múltiplos inteiros de
é sempre 0, pois para qualquer inteiro .
Conclusão para
:
- Domínio: Todos os números reais.
- Imagem: Apenas o valor 0, ou seja,
.
Passo 4
Agora vamos para a composição
, que significa
.
- Composição
. - Como
está sempre entre -1 e 1, a parte inteira pode ser: - -1, se
estiver entre -1 e 0 (exclusivo). - 0, se
for exatamente 0 ou estiver entre 0 e 1.
- -1, se
Então,
ou
, ou seja,
pode ser -π ou 0.
Conclusão para
:
- Domínio: Todos os números reais.
- Imagem: Os valores -π e 0, ou seja,
.
Resposta
Para as funções compostas:
-
: - Domínio:
(todos os números reais). - Imagem:
.
- Domínio:
-
: - Domínio:
(todos os números reais). - Imagem:
.
- Domínio:
Exercícios relacionados
Para cada par de funções
abaixo encontre o domínio e as expressões de
,
e
.
a)
a)
b)
c)
d)
a)
a)
b)
c)
d)
Negue as seguintes proposições:
(e) Existe um número natural tal que
é par e divisível por 3 .
(e) Existe um número natural
Sabendo que uma função
é par, o que podemos concluir sobre funções:
,
e
? E se
for uma função ímpar?
Para cada função abaixo, determine o domínio máximo e o contradomínio para que ela seja bijetora. Neste caso, encontre uma expressão analítica para
.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)