Para cada função abaixo, determine um domínio que a torne inversível e expresse sua inversa:

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar um domínio para a função que a torne inversível, ou seja, que permita encontrar a sua função inversa. Vamos precisar entender conceitos de função quadrática, domínio, eixo de simetria e como encontrar a inversa de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função quadrática . Sabemos que funções quadráticas têm a forma geral e seu gráfico é uma parábola. Para que a função seja inversível, ela deve ser estritamente crescente ou decrescente, ou seja, não pode ter um “V” ou “∩”.

Passo 3

Para garantir que a função seja estritamente crescente ou decrescente, devemos restringir o domínio a um intervalo onde a função não se inverte. Isso geralmente é feito escolhendo a partir do vértice da parábola.

Passo 4

Vamos encontrar o vértice da parábola. A coordenada do vértice é dada por . Aqui, e , então:
Portanto, o vértice está em .

Passo 5

Decidiremos escolher de modo que a função seja crescente ou decrescente a partir do vértice. Vamos optar por , onde a função é crescente, garantindo assim que seja invertível.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a inversa da função . Para isso, trocamos por e resolvemos para :
Vamos completar o quadrado para facilitar a resolução:
Então,
Como , , então podemos tirar a raiz quadrada:
Finalmente,

Resposta

A função inversa de no domínio é:

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Use um CAS para gerar o gráfico de com .