Para cada função abaixo, determine um domínio
que a torne inversível e expresse sua inversa:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar um domínio
para a função
que a torne inversível, ou seja, que permita encontrar a sua função inversa. Vamos precisar entender conceitos de função quadrática, domínio, eixo de simetria e como encontrar a inversa de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função quadrática
. Sabemos que funções quadráticas têm a forma geral
e seu gráfico é uma parábola. Para que a função seja inversível, ela deve ser estritamente crescente ou decrescente, ou seja, não pode ter um “V” ou “∩”.
Passo 3
Para garantir que a função seja estritamente crescente ou decrescente, devemos restringir o domínio
a um intervalo onde a função não se inverte. Isso geralmente é feito escolhendo
a partir do vértice da parábola.
Passo 4
Vamos encontrar o vértice da parábola. A coordenada
do vértice é dada por
. Aqui,
e
, então:
Portanto, o vértice está em
.
Passo 5
Decidiremos escolher
de modo que a função seja crescente ou decrescente a partir do vértice. Vamos optar por
, onde a função é crescente, garantindo assim que seja invertível.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a inversa da função
. Para isso, trocamos
por
e resolvemos para
:
Vamos completar o quadrado para facilitar a resolução:
Então,
Como
,
, então podemos tirar a raiz quadrada:
Finalmente,
Resposta
A função inversa de
no domínio
é:
Exercícios relacionados
Para as seguintes funções
, decomponha-a como compostas de funções mais simples
Texto Descreva duas maneiras diferentes pelas quais podemos representar geometricamente uma função
. Discuta algumas vantagens e desvantagens de cada representação.
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Seja
.
Use um CAS para gerar o gráfico de com
.
Use um CAS para gerar o gráfico de