Texto Descreva duas maneiras diferentes pelas quais podemos representar geometricamente uma função . Discuta algumas vantagens e desvantagens de cada representação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descrever duas formas diferentes de representar geometricamente uma função . Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável ou geometria analítica. Para resolver, vamos precisar entender como visualizar funções de duas variáveis no espaço e conhecer os prós e contras de cada método de representação.

Passo 2

A primeira maneira de representar geometricamente uma função é através de um gráfico tridimensional (3D). Imagine que você tenha um sistema de coordenadas com os eixos e no plano horizontal, e o eixo vertical representando os valores de . Ao variar e , você plota os pontos , formando uma superfície no espaço 3D.

Passo 3

Uma vantagem do gráfico 3D é que ele oferece uma visão completa da função, permitindo observar como se comporta em todas as direções. Isso ajuda a identificar máximos, mínimos e pontos de sela facilmente. Porém, uma desvantagem é que pode ser difícil visualizar detalhes específicos quando a superfície é complexa ou tem muitas variações. Além disso, a visualização em 3D pode ser menos clara em materiais impressos ou em telas pequenas.

Passo 4

A segunda maneira é através de gráfico de curvas de nível (contornos). Nesse método, fixamos valores específicos para e traçamos curvas no plano onde a função atinge esses valores. Cada curva de nível representa um conjunto de pontos onde é constante, similar às curvas de altitude em mapas topográficos.

Passo 5

Uma vantagem das curvas de nível é que elas facilitam a análise de como a função varia no plano sem a necessidade de visualizar em 3D. São especialmente úteis para funções complexas, onde o gráfico 3D pode ficar muito confuso. No entanto, a desvantagem é que elas não mostram diretamente a altura da função, o que pode tornar mais difícil compreender a magnitude das variações sem referências adicionais.

Resposta

Duas maneiras diferentes de representar geometricamente uma função são:
  1. Gráfico Tridimensional (3D):
    • Vantagens: Proporciona uma visão completa da função, facilitando a identificação de máximos, mínimos e pontos de sela.
    • Desvantagens: Pode ser difícil visualizar detalhes em funções complexas e a clareza pode diminuir em materiais impressos ou telas pequenas.
  2. Gráfico de Curvas de Nível (Contornos):
    • Vantagens: Simplifica a análise das variações da função no plano sem a complexidade do 3D, sendo útil para funções mais complicadas.
    • Desvantagens: Não mostra diretamente a magnitude das variações da função, tornando a compreensão da altura menos imediata.

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Calcule os limites, caso existam:
Para cada par de funções abaixo encontre o domínio e as expressões de , e .
a)
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