Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=2^infty (-1)^nn ln n

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
sumn=2^infty (-1)^nn ln n
O objetivo é determinar se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar conhecer os conceitos de convergência absoluta e convergência condicional de séries, além de utilizar o Teste da Série Alternada e o Teste da Integral.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que precisamos analisar a série dos valores absolutos dos termos:
sumn=2^infty | (-1)^nn ln n | = sumn=2^infty 1n ln n

Passo 3

Agora, vamos determinar se essa série com valores absolutos converge ou não. Observamos que a série se parece com uma série do tipo p. Sabemos que uma série do tipo converge se e diverge se .

Passo 4

No nosso caso, temos , que pode ser comparada a . A presença do no denominador faz com que os termos sejam menores que , mas ainda assim, essa série é conhecida por divergir. Podemos confirmar isso usando o Teste da Integral.

Passo 5

Aplicando o Teste da Integral, consideramos a integral:
integral2^infty 1x ln x , dx
Fazendo a substituição integralln 2^infty 1u , du = limb to infty ln u |ln 2^b = limb to infty (ln b - ln ln 2) = infty , , a integral se torna:
Como a integral diverge, a série também diverge.

Passo 6

Como a série dos valores absolutos diverge, a série original não é absolutamente convergente. Agora, vamos verificar se ela é condicionalmente convergente usando o Teste da Série Alternada.

Passo 7

O Teste da Série Alternada diz que uma série da forma converge se:
  1. Os termos são positivos.
  2. é uma sequência decrescente.
  3. .
Vamos verificar essas condições para :
  1. para .
  2. A sequência é decrescente porque, à medida que aumenta, tanto quanto aumentam, fazendo diminuir.
  3. .

Passo 8

Como todas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, concluímos que a série original:
sumn=2^infty (-1)^nn ln n
converge condicionalmente.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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