Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
O objetivo é determinar se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar conhecer os conceitos de convergência absoluta e convergência condicional de séries, além de utilizar o Teste da Série Alternada e o Teste da Integral.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que precisamos analisar a série dos valores absolutos dos termos:
Passo 3
Agora, vamos determinar se essa série com valores absolutos converge ou não. Observamos que a série se parece com uma série do tipo p. Sabemos que uma série do tipo converge se e diverge se .
Passo 4
No nosso caso, temos , que pode ser comparada a . A presença do no denominador faz com que os termos sejam menores que , mas ainda assim, essa série é conhecida por divergir. Podemos confirmar isso usando o Teste da Integral.
Passo 5
Aplicando o Teste da Integral, consideramos a integral:
Fazendo a substituição , , a integral se torna:
Como a integral diverge, a série também diverge.
Passo 6
Como a série dos valores absolutos diverge, a série original não é absolutamente convergente. Agora, vamos verificar se ela é condicionalmente convergente usando o Teste da Série Alternada.
Passo 7
O Teste da Série Alternada diz que uma série da forma converge se:
Os termos são positivos.
é uma sequência decrescente.
.
Vamos verificar essas condições para :
para .
A sequência é decrescente porque, à medida que aumenta, tanto quanto aumentam, fazendo diminuir.
.
Passo 8
Como todas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, concluímos que a série original: