Para cada função abaixo determine a função inversa (não esqueça indicar o domínio dela) g)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a função inversa da função dada. A função que temos é uma função por partes, ou seja, ela tem comportamentos diferentes dependendo do valor de . Vamos precisar entender como construir inversas para cada parte da função e também determinar o domínio de cada inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função original:
Temos duas partes:
  1. Quando , .
  2. Quando , .

Passo 3

Vamos encontrar a inversa para cada parte separadamente.
Para :
A função é . Essa função é linear e sua própria inversa. Ou seja, para inverter, basta trocar por :
Então, a inversa nessa parte é .
Para :
A função é . Para inverter, resolvemos para :
Mas precisamos lembrar que , então a inversa será .

Passo 4

Agora, vamos definir o domínio de cada parte da inversa.
Para :
Como a função original tinha , a inversa também terá .
Para :
A função original tinha e , então, na inversa, estará definida para porque a raiz quadrada de números negativos não é real.

Passo 5

Juntando tudo, a função inversa fica assim:
Isso porque trocamos os papéis de e em cada parte da função original e consideramos os respectivos domínios.

Resposta

A inversa da função é:
com domínio definido para todos os reais e , respectivamente.

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