Para cada função abaixo determine a função inversa (não esqueça indicar o domínio dela) g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a função inversa da função dada. A função que temos é uma função por partes, ou seja, ela tem comportamentos diferentes dependendo do valor de
. Vamos precisar entender como construir inversas para cada parte da função e também determinar o domínio de cada inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função original:
Temos duas partes:
- Quando
, . - Quando
, .
Passo 3
Vamos encontrar a inversa para cada parte separadamente.
Para
:
A função é . Essa função é linear e sua própria inversa. Ou seja, para inverter, basta trocar
por
:
A função é
Então, a inversa nessa parte é
.
Para
:
A função é . Para inverter, resolvemos para
:
A função é
Mas precisamos lembrar que
, então a inversa será
.
Passo 4
Agora, vamos definir o domínio de cada parte da inversa.
Para
:
Como a função original tinha , a inversa também terá
.
Como a função original tinha
Para
:
A função original tinha e
, então, na inversa,
estará definida para
porque a raiz quadrada de números negativos não é real.
A função original tinha
Passo 5
Juntando tudo, a função inversa
fica assim:
Isso porque trocamos os papéis de
e
em cada parte da função original e consideramos os respectivos domínios.
Resposta
A inversa da função
é:
com domínio definido para todos os reais
e
, respectivamente.
Exercícios relacionados
Sejam
. Expresse cada uma das funções abaixo através das composições de funções escolhidas entre
e
. c)
Sejam
e
números inteiros. Para as conjecturas abaixo, prove as verdadeiras e mostra contraexemplo para as falsas. (b) Se
é par, então
é par.
Sejam
e
números inteiros. Para as conjecturas abaixo, prove as verdadeiras e mostra contraexemplo para as falsas. (a) Se
é par, então
é par.
Sejam
e
números inteiros. Prove que: (d)
é par se, e somente se,
é divisível por 4 .