Sejam e números inteiros. Prove que: (d) é par se, e somente se, é divisível por 4 .

Passo 1

Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa provar que um número inteiro é par se, e somente se, é divisível por 4. Isso significa que vamos mostrar duas coisas: (1) Se é par, então é divisível por 4, e (2) Se é divisível por 4, então é par. Para isso, vamos precisar saber o que significa um número ser par e como verificar a divisibilidade por 4.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um número par. Um número inteiro é par se ele pode ser escrito como , onde é outro número inteiro. Isso quer dizer que é múltiplo de 2.

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece quando elevamos ao quadrado. Se é par, então podemos escrever . Assim, . Observa que é igual a 4 vezes , ou seja, é divisível por 4, porque é claramente múltiplo de 4.

Passo 4

Isso prova a primeira parte: Se é par, então é divisível por 4. Agora, precisamos provar a segunda parte: Se é divisível por 4, então é par.

Passo 5

Vamos supor que é divisível por 4. Isso significa que , onde é um número inteiro. Queremos mostrar que, a partir dessa suposição, deve ser par.

Passo 6

Vamos pensar no que aconteceria se fosse ímpar. Se é ímpar, podemos escrevê-lo como , onde é um número inteiro. Calculando :
Aqui, fica na forma de , onde . Isso significa que daria um resto de 1 quando dividido por 4, ou seja, não seria divisível por 4.

Passo 7

Chegamos a uma contradição: supomos que é ímpar, mas isso leva a não ser divisível por 4, o que vai contra a nossa suposição inicial. Portanto, a única possibilidade é que seja par.

Resposta

Assim, provamos que é par se, e somente se, é divisível por 4.

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Sejam e números inteiros. Para as conjecturas abaixo, prove as verdadeiras e mostra contraexemplo para as falsas. (a) Se é par, então é par.
Para cada função abaixo determine a função inversa (não esqueça indicar o domínio dela) g)
Resolva as seguintes inequalities: c)
Calcule: c)