Sejam
e
números inteiros. Prove que: (d)
é par se, e somente se,
é divisível por 4 .
Passo 1
Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa provar que um número inteiro
é par se, e somente se,
é divisível por 4. Isso significa que vamos mostrar duas coisas: (1) Se
é par, então
é divisível por 4, e (2) Se
é divisível por 4, então
é par. Para isso, vamos precisar saber o que significa um número ser par e como verificar a divisibilidade por 4.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um número par. Um número inteiro
é par se ele pode ser escrito como
, onde
é outro número inteiro. Isso quer dizer que
é múltiplo de 2.
Passo 3
Agora, vamos ver o que acontece quando elevamos
ao quadrado. Se
é par, então podemos escrever
. Assim,
. Observa que
é igual a 4 vezes
, ou seja,
é divisível por 4, porque
é claramente múltiplo de 4.
Passo 4
Isso prova a primeira parte: Se
é par, então
é divisível por 4. Agora, precisamos provar a segunda parte: Se
é divisível por 4, então
é par.
Passo 5
Vamos supor que
é divisível por 4. Isso significa que
, onde
é um número inteiro. Queremos mostrar que, a partir dessa suposição,
deve ser par.
Passo 6
Vamos pensar no que aconteceria se
fosse ímpar. Se
é ímpar, podemos escrevê-lo como
, onde
é um número inteiro. Calculando
:
Aqui,
fica na forma de
, onde
. Isso significa que
daria um resto de 1 quando dividido por 4, ou seja, não seria divisível por 4.
Passo 7
Chegamos a uma contradição: supomos que
é ímpar, mas isso leva a
não ser divisível por 4, o que vai contra a nossa suposição inicial. Portanto, a única possibilidade é que
seja par.
Resposta
Assim, provamos que
é par se, e somente se,
é divisível por 4.
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Sejam
e
números inteiros. Para as conjecturas abaixo, prove as verdadeiras e mostra contraexemplo para as falsas. (a) Se
é par, então
é par.
Para cada função abaixo determine a função inversa (não esqueça indicar o domínio dela) g)
Resolva as seguintes inequalities: c)
Calcule: c)