Para cada função abaixo . Determine:
i)As raízes da função;
ii) As coordenadas dos vértices da função;
ii) O ponto de interceção com o eixo y;
iii) Se o valor da função é máximo ou minímo;
iv) a concavidade da parábola;
v) Esboce a função.
f(x) = -x^2 - 4x - 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa função quadrática juntos! A gente precisa encontrar vários pontos importantes da função . Isso envolve encontrar as raízes, o vértice, onde ela corta o eixo y, se tem um valor máximo ou mínimo, a concavidade da parábola e, por fim, esboçar o gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas, como a fórmula de Bhaskara para as raízes e a fórmula do vértice.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as raízes da função, ou seja, os valores de que fazem . Para isso, usamos a equação quadrática:
Podemos aplicar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Vamos calcular o discriminante ( ):
Como , temos uma raiz dupla:
Então, a única raiz é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as coordenadas do vértice da parábola. A fórmula para o vértice é:
Substituindo os valores:
Para achar , substituímos na função:
Então, o vértice é .

Passo 4

Vamos determinar o ponto de interseção com o eixo y. Isso acontece quando . Substituindo na função:
Portanto, a interseção com o eixo y é .

Passo 5

Como o coeficiente de é negativo ( ), isso significa que a parábola abertura para baixo. Portanto, o vértice representa um valor máximo da função.

Passo 6

A concavidade da parábola está relacionada ao sinal do coeficiente de . Como é negativo, a parábola é côncava para baixo.

Passo 7

Para esboçar a função, vamos resumir os pontos que encontramos:
  • Vértice:
  • Raízes: (raiz dupla)
  • Interseção com o eixo y:
  • Concavidade: para baixo
  • Valor máximo: 0 no vértice
Como a única raiz é e o vértice também está nesse ponto, o gráfico da parábola toca o eixo x nesse ponto e desce de lá, passando pelo ponto .

Resposta

  • Raízes da função:
  • Vértice:
  • Interseção com o eixo y:
  • Valor da função: Máximo
  • Concavidade da parábola: Para baixo
  • Esboço da função: Uma parábola que toca o eixo x em , alcança o ponto mais alto no vértice , passa por e abre para baixo.

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Seja f: D subset R^2 R. Suponha que lim (x, y) (a, b) f(x, y)=L e que gamma, uma curva do R^2, seja contínua em t0, com gamma(t0)=(a, b) e, para todo, t neq t0 tem-se gamma(t) neq gamma(t0), com gamma(t) in D. Mostre que vale lim t t0 f(gamma(t))=L.
Para cada função abaixo, determine i) as raízes ou zeros da função, ii) os pontos de intercecção com os eixos x e y; iii) classifique se é crescente ou decrescente, e iV) faça o gráfico das funções:
f(x) = -5 x - 6
Simplifique:
2^x * 4^(x+1) / (8^(-x) * 16^(x/2))
Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas:
(d) A equação cartesiana x^2 + y^2 + (z - 2)^2 = 4 corresponde a ρ = 2 sen(theta).