Para cada função abaixo . Determine:
i)As raízes da função;
ii) As coordenadas dos vértices da função;
ii) O ponto de interceção com o eixo y;
iii) Se o valor da função é máximo ou minímo;
iv) a concavidade da parábola;
v) Esboce a função.
i)As raízes da função;
ii) As coordenadas dos vértices da função;
ii) O ponto de interceção com o eixo y;
iii) Se o valor da função é máximo ou minímo;
iv) a concavidade da parábola;
v) Esboce a função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa função quadrática juntos! A gente precisa encontrar vários pontos importantes da função
. Isso envolve encontrar as raízes, o vértice, onde ela corta o eixo y, se tem um valor máximo ou mínimo, a concavidade da parábola e, por fim, esboçar o gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas, como a fórmula de Bhaskara para as raízes e a fórmula do vértice.
Passo 2
Primeiro, vamos achar as raízes da função, ou seja, os valores de
que fazem
. Para isso, usamos a equação quadrática:
Podemos aplicar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Vamos calcular o discriminante (
):
Como
, temos uma raiz dupla:
Então, a única raiz é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as coordenadas do vértice da parábola. A fórmula para o vértice é:
Substituindo os valores:
Para achar
, substituímos
na função:
Então, o vértice é
.
Passo 4
Vamos determinar o ponto de interseção com o eixo y. Isso acontece quando
. Substituindo na função:
Portanto, a interseção com o eixo y é
.
Passo 5
Como o coeficiente de
é negativo (
), isso significa que a parábola abertura para baixo. Portanto, o vértice representa um valor máximo da função.
Passo 6
A concavidade da parábola está relacionada ao sinal do coeficiente de
. Como
é negativo, a parábola é côncava para baixo.
Passo 7
Para esboçar a função, vamos resumir os pontos que encontramos:
- Vértice:
- Raízes:
(raiz dupla) - Interseção com o eixo y:
- Concavidade: para baixo
- Valor máximo: 0 no vértice
Como a única raiz é
e o vértice também está nesse ponto, o gráfico da parábola toca o eixo x nesse ponto e desce de lá, passando pelo ponto
.
Resposta
- Raízes da função:
- Vértice:
- Interseção com o eixo y:
- Valor da função: Máximo
- Concavidade da parábola: Para baixo
- Esboço da função: Uma parábola que toca o eixo x em
, alcança o ponto mais alto no vértice , passa por e abre para baixo.
Exercícios relacionados
Seja
. Suponha que
e que
, uma curva do
, seja contínua em
, com
e, para todo,
tem-se
, com
. Mostre que vale
.
Para cada função abaixo, determine i) as raízes ou zeros da função, ii) os pontos de intercecção com os eixos x e y; iii) classifique se é crescente ou decrescente, e iV) faça o gráfico das funções:
Simplifique:
Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas:
(d) A equação cartesiana corresponde a
.
(d) A equação cartesiana