Seja
. Suponha que
e que
, uma curva do
, seja contínua em
, com
e, para todo,
tem-se
, com
. Mostre que vale
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função
que recebe dois números reais e retorna outro real. Sabemos que, quando os pontos
se aproximam de
, o valor de
se aproxima de
. Também temos uma curva
que, quando
se aproxima de
, se aproxima de
. A pergunta é mostrar que, ao seguirmos essa curva
, o valor de
também se aproxima de
. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de limites de funções de várias variáveis e a ideia de limites compostos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa que
. Isso quer dizer que, para qualquer pequeno deslocamento
, existe um raio
tal que se
, então
. Em palavras simples, podemos fazer
ficar tão perto de
quanto quisermos escolhendo pontos
suficientemente próximos de
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a curva
. Ela é contínua em
, o que significa que à medida que
se aproxima de
,
se aproxima de
. Além disso, para todo
,
e
está no domínio
de
. Isso garante que estamos sempre dentro do domínio onde o limite de
existe.
Passo 4
Queremos mostrar que
. Para isso, vamos usar a definição de limite composto. Sabemos que
se aproxima de
quando
se aproxima de
. Então, se conseguimos fazer
ficar perto de
quando
está perto de
, teremos o resultado que queremos.
Passo 5
Vamos formalizar isso usando a definição de limite. Seja
dado. Como
, existe um
tal que se
, então
.
Passo 6
Como
é contínua em
e
, existe um intervalo ao redor de
onde
está dentro do raio
de
. Ou seja, existe um
tal que se
, então
, onde
.
Passo 7
Portanto, para todo
com
, temos que
. Isso mostra que
, como queríamos demonstrar.
Resposta
Então, mostramos que
.
Exercícios relacionados
Para cada função abaixo, determine i) as raízes ou zeros da função, ii) os pontos de intercecção com os eixos x e y; iii) classifique se é crescente ou decrescente, e iV) faça o gráfico das funções:
Suponha que
esteja definida implicitamente como uma função de
e
pela equação
.
(a) Calcule e
.
(a) Calcule
Para cada função abaixo . Determine:
i)As raízes da função;
ii) As coordenadas dos vértices da função;
ii) O ponto de interceção com o eixo y;
iii) Se o valor da função é máximo ou minímo;
iv) a concavidade da parábola;
v) Esboce a função.
i)As raízes da função;
ii) As coordenadas dos vértices da função;
ii) O ponto de interceção com o eixo y;
iii) Se o valor da função é máximo ou minímo;
iv) a concavidade da parábola;
v) Esboce a função.
Simplifique: