Seja f: D subset R^2 R. Suponha que lim (x, y) (a, b) f(x, y)=L e que gamma, uma curva do R^2, seja contínua em t0, com gamma(t0)=(a, b) e, para todo, t neq t0 tem-se gamma(t) neq gamma(t0), com gamma(t) in D. Mostre que vale lim t t0 f(gamma(t))=L.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função que recebe dois números reais e retorna outro real. Sabemos que, quando os pontos se aproximam de , o valor de se aproxima de . Também temos uma curva que, quando se aproxima de , se aproxima de . A pergunta é mostrar que, ao seguirmos essa curva , o valor de também se aproxima de . Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de limites de funções de várias variáveis e a ideia de limites compostos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa que . Isso quer dizer que, para qualquer pequeno deslocamento , existe um raio tal que se , então . Em palavras simples, podemos fazer ficar tão perto de quanto quisermos escolhendo pontos suficientemente próximos de .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a curva . Ela é contínua em , o que significa que à medida que se aproxima de , se aproxima de . Além disso, para todo , e está no domínio de . Isso garante que estamos sempre dentro do domínio onde o limite de existe.

Passo 4

Queremos mostrar que . Para isso, vamos usar a definição de limite composto. Sabemos que se aproxima de quando se aproxima de . Então, se conseguimos fazer ficar perto de quando está perto de , teremos o resultado que queremos.

Passo 5

Vamos formalizar isso usando a definição de limite. Seja dado. Como , existe um tal que se , então .

Passo 6

Como é contínua em e , existe um intervalo ao redor de onde está dentro do raio de . Ou seja, existe um tal que se , então , onde .

Passo 7

Portanto, para todo com , temos que . Isso mostra que , como queríamos demonstrar.

Resposta

Então, mostramos que .

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