Para cada função abaixo . Determine:
i)As raízes da função;
ii) As coordenadas dos vértices da função;
ii) O ponto de interceção com o eixo y;
iii) Se o valor da função é máximo ou minímo;
iv) a concavidade da parábola;
v) Esboce a função.
f(x) = x^2 - 4x + 4

Passo 1

Beleza, vamos analisar a função . Essa é uma função quadrática, que representa uma parábola. Para resolver as questões, vamos precisar saber sobre raízes de funções, vértices, interseção com o eixo y, máximos ou mínimos, concavidade e esboço de parábolas.

Passo 2

i) As raízes da função
As raízes da função são os valores de que fazem . Vamos resolver a equação quadrática .
Podemos aplicar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e .
Calculando o discriminante:
Como , a equação tem uma raiz real dupla:
Então, a raiz é .

Passo 3

ii) As coordenadas dos vértices da função
O vértice de uma parábola tem coordenadas:
Substituindo e :
Agora, calculamos :
Então, o vértice está em .

Passo 4

iii) O ponto de interseção com o eixo y
O ponto de interseção com o eixo y ocorre quando :
Portanto, o ponto de interseção com o eixo y é .

Passo 5

iv) Se o valor da função é máximo ou mínimo
Para determinar se a parábola tem um máximo ou mínimo, observamos o coeficiente . Se , a parábola é “sorridente” e tem um mínimo; se , é “covirta” e tem um máximo.
Aqui, , então a função tem um mínimo no vértice.

Passo 6

v) A concavidade da parábola
A concavidade da parábola também é determinada pelo coeficiente :
  • Se , a concavidade é para cima.
  • Se , a concavidade é para baixo.
Como , a parábola é côncava para cima.

Passo 7

vi) Esboce a função
Vamos resumir as informações:
  • Raiz:
  • Vértice:
  • Interseção com o eixo y:
  • Mínimo no vértice
  • Concavidade para cima
Com esses pontos, podemos desenhar a parábola. Ela toca o eixo x em , passa por , tem seu ponto mais baixo em e abre para cima.

Resposta

As raízes da função são , o vértice está em , a interseção com o eixo y é em , a função possui um mínimo, a concavidade é para cima, e o esboço da função é uma parábola que toca o eixo x em , passa por e abre para cima.

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