Para cada função abaixo . Determine:
i)As raízes da função;
ii) As coordenadas dos vértices da função;
ii) O ponto de interceção com o eixo y;
iii) Se o valor da função é máximo ou minímo;
iv) a concavidade da parábola;
v) Esboce a função.
i)As raízes da função;
ii) As coordenadas dos vértices da função;
ii) O ponto de interceção com o eixo y;
iii) Se o valor da função é máximo ou minímo;
iv) a concavidade da parábola;
v) Esboce a função.
Passo 1
Beleza, vamos analisar a função
. Essa é uma função quadrática, que representa uma parábola. Para resolver as questões, vamos precisar saber sobre raízes de funções, vértices, interseção com o eixo y, máximos ou mínimos, concavidade e esboço de parábolas.
Passo 2
i) As raízes da função
As raízes da função são os valores de
que fazem
. Vamos resolver a equação quadrática
.
Podemos aplicar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
.
Calculando o discriminante:
Como
, a equação tem uma raiz real dupla:
Então, a raiz é
.
Passo 3
ii) As coordenadas dos vértices da função
O vértice de uma parábola
tem coordenadas:
Substituindo
e
:
Agora, calculamos
:
Então, o vértice está em
.
Passo 4
iii) O ponto de interseção com o eixo y
O ponto de interseção com o eixo y ocorre quando
:
Portanto, o ponto de interseção com o eixo y é
.
Passo 5
iv) Se o valor da função é máximo ou mínimo
Para determinar se a parábola tem um máximo ou mínimo, observamos o coeficiente
. Se
, a parábola é “sorridente” e tem um mínimo; se
, é “covirta” e tem um máximo.
Aqui,
, então a função tem um mínimo no vértice.
Passo 6
v) A concavidade da parábola
A concavidade da parábola também é determinada pelo coeficiente
:
- Se
, a concavidade é para cima. - Se
, a concavidade é para baixo.
Como
, a parábola é côncava para cima.
Passo 7
vi) Esboce a função
Vamos resumir as informações:
- Raiz:
- Vértice:
- Interseção com o eixo y:
- Mínimo no vértice
- Concavidade para cima
Com esses pontos, podemos desenhar a parábola. Ela toca o eixo x em
, passa por
, tem seu ponto mais baixo em
e abre para cima.
Resposta
As raízes da função são
, o vértice está em
, a interseção com o eixo y é em
, a função possui um mínimo, a concavidade é para cima, e o esboço da função é uma parábola que toca o eixo x em
, passa por
e abre para cima.
Exercícios relacionados
Seja
, em que
é diferenciável. Verifique que
para todo
.
Calcule
onde
.
Calcule o volume do sólido
definido como abaixo
Esboce o gráfico e classifique em crescente e decrescente cada função abaixo: