Calcule
integral triplaW x^2raizx^2+y^2+z^2 d V
onde W=(x, y, z) in R^3 ; 1 <= x^2+y^2+z^2 <= 4.

Passo 1

Vamos calcular a integral tripla
integral triplaW x^2raizx^2+y^2+z^2 , dV
onde .
Este exercício envolve o cálculo de integrais múltiplas, especificamente em coordenadas esféricas, já que a região está entre duas esferas. Vamos precisar transformar a integral para coordenadas esféricas e usar propriedades de simetria para simplificar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração x = rho sinphi costheta y = rho sinphi sintheta z = rho cosphi . A desigualdade dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta descreve um “anel” esférico no espaço tridimensional, ou seja, todos os pontos que estão entre uma esfera de raio 1 e outra de raio 2.
Para facilitar o cálculo, vamos transformar a integral para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, um ponto é representado por , onde:
  • é a distância do ponto à origem,
  • é o ângulo no plano (azimutal),
  • é o ângulo com o eixo (polar).
A relação entre as coordenadas cartesianas e esféricas é:
O elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 3

Vamos reescrever a função que queremos integrar em coordenadas esféricas. A função é:
x^2raizx^2+y^2+z^2
Sabendo que x^2raizx^2+y^2+z^2 = (rho sinphi costheta)^2rho = rho sin^2phi cos^2theta e , substituímos:

Passo 4

Agora, substituímos a função e o elemento de volume na integral original:
integral triplaW x^2raizx^2+y^2+z^2 , dV = integral0^2pi integral0^pi integral1^2 rho sin^2phi cos^2theta cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Simplificando os termos:
= integral0^2pi integral0^pi integral1^2 rho^3 sin^3phi cos^2theta , drho , dphi , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral separadamente em cada variável.
Primeiro, a integral em integral0^2pi cos^2theta , dtheta = pi :
integral0^pi sin^3phi , dphi = 43
Isso ocorre porque integral1^2 rho^3 , drho = [ rho^44 ]1^2 = 164 - 14 = 154 tem média sobre um período completo.
Segundo, a integral em :
Isso pode ser resolvido usando uma identidade trigonométrica ou substituição.
Por fim, a integral em :

Resposta

Multiplicando os resultados das integrais:
pi times 43 times 154 = 5pi
Portanto, o valor da integral é .

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