Calcule
onde
.
Passo 1
Vamos calcular a integral tripla
onde
.
Este exercício envolve o cálculo de integrais múltiplas, especificamente em coordenadas esféricas, já que a região
está entre duas esferas. Vamos precisar transformar a integral para coordenadas esféricas e usar propriedades de simetria para simplificar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração
. A desigualdade
descreve um “anel” esférico no espaço tridimensional, ou seja, todos os pontos que estão entre uma esfera de raio 1 e outra de raio 2.
Para facilitar o cálculo, vamos transformar a integral para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, um ponto
é representado por
, onde:
-
é a distância do ponto à origem, -
é o ângulo no plano (azimutal), -
é o ângulo com o eixo (polar).
A relação entre as coordenadas cartesianas e esféricas é:
O elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 3
Vamos reescrever a função que queremos integrar em coordenadas esféricas. A função é:
Sabendo que
e
, substituímos:
Passo 4
Agora, substituímos a função e o elemento de volume na integral original:
Simplificando os termos:
Passo 5
Vamos resolver a integral separadamente em cada variável.
Primeiro, a integral em
:
Isso ocorre porque
tem média
sobre um período completo.
Segundo, a integral em
:
Isso pode ser resolvido usando uma identidade trigonométrica ou substituição.
Por fim, a integral em
:
Resposta
Multiplicando os resultados das integrais:
Portanto, o valor da integral é
.