Calcule o volume do sólido W definido como abaixo W = {(x, y, z) em R^3 ; x^2 + y^2 + z^2 <= 9, 1 <= z <= 2}

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o volume de um sólido , que é definido pelas condições e . Isso significa que é a parte de uma esfera de raio 3 (já que ) que está entre os planos e . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, mais especificamente integrais triplas em coordenadas esféricas, porque elas facilitam a trabalhar com esferas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que são coordenadas esféricas. Em vez de usar , , e , usamos o raio (a distância do ponto até a origem), o ângulo polar (a inclinação em relação ao eixo ) e o ângulo azimutal (a rotação em torno do eixo ). A fórmula para o volume em coordenadas esféricas é:
Vamos usar essa fórmula para configurar nossa integral.

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração para , e .
  • Para : Como a esfera tem raio 3, varia de 0 a 3.
  • Para : Como não há restrição em , ele varia de 0 a .
  • Para : Aqui é que a gente precisa ser atento. As restrições em nos dizem que está entre 1 e 2. Em coordenadas esféricas, , então:
Para encontrar os limites de , resolvemos para :
Isso significa que, para cada valor de , varia entre esses dois ângulos.

Passo 4

Vamos montar a integral tripla com os limites definidos:
Agora, vamos resolver a integral.
Primeiro, a integral em é simples:
Então, o volume fica:
Vamos resolver a integral interna em :
Aplicando os limites:
Então, a integral fica:
Agora, resolvemos a integral em :
Aplicando os limites de 1 a 2:
Portanto, o volume é:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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