Calcule o volume do sólido
definido como abaixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o volume de um sólido
, que é definido pelas condições
e
. Isso significa que
é a parte de uma esfera de raio 3 (já que
) que está entre os planos
e
. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, mais especificamente integrais triplas em coordenadas esféricas, porque elas facilitam a trabalhar com esferas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que são coordenadas esféricas. Em vez de usar
,
, e
, usamos o raio
(a distância do ponto até a origem), o ângulo polar
(a inclinação em relação ao eixo
) e o ângulo azimutal
(a rotação em torno do eixo
). A fórmula para o volume em coordenadas esféricas é:
Vamos usar essa fórmula para configurar nossa integral.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração para
,
e
.
- Para
: Como a esfera tem raio 3, varia de 0 a 3. - Para
: Como não há restrição em , ele varia de 0 a . - Para
: Aqui é que a gente precisa ser atento. As restrições em nos dizem que está entre 1 e 2. Em coordenadas esféricas, , então:
Para encontrar os limites de
, resolvemos para
:
Isso significa que, para cada valor de
,
varia entre esses dois ângulos.
Passo 4
Vamos montar a integral tripla com os limites definidos:
Agora, vamos resolver a integral.
Primeiro, a integral em
é simples:
Então, o volume fica:
Vamos resolver a integral interna em
:
Aplicando os limites:
Então, a integral fica:
Agora, resolvemos a integral em
:
Aplicando os limites de 1 a 2:
Portanto, o volume é:
Resposta
O volume do sólido
é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Para cada função abaixo . Determine:
i)As raízes da função;
ii) As coordenadas dos vértices da função;
ii) O ponto de interceção com o eixo y;
iii) Se o valor da função é máximo ou minímo;
iv) a concavidade da parábola;
v) Esboce a função.
i)As raízes da função;
ii) As coordenadas dos vértices da função;
ii) O ponto de interceção com o eixo y;
iii) Se o valor da função é máximo ou minímo;
iv) a concavidade da parábola;
v) Esboce a função.
Seja
, em que
é diferenciável. Verifique que
para todo
.
Esboce o gráfico e classifique em crescente e decrescente cada função abaixo:
Se
, prove que