Seja f(x, y) = g(x^2 - y^2), em que g(u) é diferenciável. Verifique que
y f_x + x f_y = 0
para todo (x, y) em R^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar que, para a função , onde é diferenciável, a expressão é igual a zero para todo ponto no plano. A matéria aqui envolve cálculo de derivadas parciais e a regra da cadeia. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e usando a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que chamamos de . A função depende de de duas maneiras: diretamente através de e indiretamente através de . Aplicando a regra da cadeia:
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Similarmente, aplicamos a regra da cadeia:
Portanto:

Passo 4

Com as derivadas parciais calculadas, agora vamos substituir e na expressão que queremos verificar:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Os termos se cancelam exatamente, resultando em zero.

Resposta

Portanto, concluímos que para todo .

Exercícios relacionados