Seja
, em que
é diferenciável. Verifique que
para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar que, para a função
, onde
é diferenciável, a expressão
é igual a zero para todo ponto
no plano. A matéria aqui envolve cálculo de derivadas parciais e a regra da cadeia. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
usando a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que chamamos de
. A função
depende de
de duas maneiras: diretamente através de
e indiretamente através de
. Aplicando a regra da cadeia:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Similarmente, aplicamos a regra da cadeia:
Portanto:
Passo 4
Com as derivadas parciais calculadas, agora vamos substituir
e
na expressão que queremos verificar:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Os termos se cancelam exatamente, resultando em zero.
Resposta
Portanto, concluímos que
para todo
.
Exercícios relacionados
Calcule
onde
.
Esboce o gráfico e classifique em crescente e decrescente cada função abaixo:
Para cada função abaixo . Determine:
i)As raízes da função;
ii) As coordenadas dos vértices da função;
ii) O ponto de interceção com o eixo y;
iii) Se o valor da função é máximo ou minímo;
iv) a concavidade da parábola;
v) Esboce a função.
i)As raízes da função;
ii) As coordenadas dos vértices da função;
ii) O ponto de interceção com o eixo y;
iii) Se o valor da função é máximo ou minímo;
iv) a concavidade da parábola;
v) Esboce a função.
Calcule o volume do sólido
definido como abaixo