Para cada função abaixo . Determine:
i)As raízes da função;
ii) As coordenadas dos vértices da função;
ii) O ponto de interceção com o eixo y;
iii) Se o valor da função é máximo ou minímo;
iv) a concavidade da parábola;
v) Esboce a função.
f(x) = -2 x^2 + x - 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que envolve a função quadrática . Esse tipo de função pertence à matéria de Funções do 2º Grau ou Funções Quadráticas. Para resolver os itens do exercício, vamos precisar entender conceitos como raízes de uma função, vértice, intercepto com o eixo y, máximos e mínimos, concavidade da parábola e, por fim, como esboçar o gráfico da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as raízes da função, ou seja, os valores de que fazem . Para isso, vamos resolver a equação quadrática:
Podemos usar a fórmula de Bhaskara, que é uma ferramenta para resolver equações do segundo grau da forma :
Aqui, , e .

Passo 3

Vamos calcular o discriminante ( ) da equação, que está dentro da raiz da fórmula de Bhaskara:
Como o discriminante é negativo ( ), isso significa que a função não possui raízes reais. Portanto, a parábola não intercepta o eixo x.

Passo 4

Agora, vamos encontrar as coordenadas do vértice da função. O vértice de uma parábola dada por tem coordenadas:
Substituindo e :
Agora, calculamos :
Então, o vértice está em .

Passo 5

Vamos identificar o ponto de interseção com o eixo y. Esse ponto ocorre quando :
Portanto, a interseção com o eixo y é no ponto .

Passo 6

Agora, vamos determinar se a função possui um valor máximo ou mínimo. Isso depende do coeficiente da função quadrática:
  • Se , a parábola tem concavidade para cima e possui um mínimo.
  • Se , a parábola tem concavidade para baixo e possui um máximo.
No nosso caso, , então a função possui um valor máximo no vértice.

Passo 7

Por fim, vamos analisar a concavidade da parábola. Como já vimos, o coeficiente é negativo, o que significa que a parábola é côncava para baixo.

Resposta

Resumindo:
i) A função não possui raízes reais.
ii) O vértice está em .
iii) A interseção com o eixo y é no ponto .
iv) A função apresenta um valor máximo.
v) A concavidade da parábola é para baixo.
vi) O esboço da função seria uma parábola côncava para baixo, com vértice em e passando pelo ponto , sem interceptações reais com o eixo x.

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