Para cada função abaixo . Determine:
i)As raízes da função;
ii) As coordenadas dos vértices da função;
ii) O ponto de interceção com o eixo y;
iii) Se o valor da função é máximo ou minímo;
iv) a concavidade da parábola;
v) Esboce a função.
i)As raízes da função;
ii) As coordenadas dos vértices da função;
ii) O ponto de interceção com o eixo y;
iii) Se o valor da função é máximo ou minímo;
iv) a concavidade da parábola;
v) Esboce a função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que envolve a função quadrática
. Esse tipo de função pertence à matéria de Funções do 2º Grau ou Funções Quadráticas. Para resolver os itens do exercício, vamos precisar entender conceitos como raízes de uma função, vértice, intercepto com o eixo y, máximos e mínimos, concavidade da parábola e, por fim, como esboçar o gráfico da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as raízes da função, ou seja, os valores de
que fazem
. Para isso, vamos resolver a equação quadrática:
Podemos usar a fórmula de Bhaskara, que é uma ferramenta para resolver equações do segundo grau da forma
:
Aqui,
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular o discriminante (
) da equação, que está dentro da raiz da fórmula de Bhaskara:
Como o discriminante é negativo (
), isso significa que a função não possui raízes reais. Portanto, a parábola não intercepta o eixo x.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as coordenadas do vértice da função. O vértice de uma parábola dada por
tem coordenadas:
Substituindo
e
:
Agora, calculamos
:
Então, o vértice está em
.
Passo 5
Vamos identificar o ponto de interseção com o eixo y. Esse ponto ocorre quando
:
Portanto, a interseção com o eixo y é no ponto
.
Passo 6
Agora, vamos determinar se a função possui um valor máximo ou mínimo. Isso depende do coeficiente
da função quadrática:
- Se
, a parábola tem concavidade para cima e possui um mínimo. - Se
, a parábola tem concavidade para baixo e possui um máximo.
No nosso caso,
, então a função possui um valor máximo no vértice.
Passo 7
Por fim, vamos analisar a concavidade da parábola. Como já vimos, o coeficiente
é negativo, o que significa que a parábola é côncava para baixo.
Resposta
Resumindo:
i) A função não possui raízes reais.
ii) O vértice está em
.
iii) A interseção com o eixo y é no ponto
.
iv) A função apresenta um valor máximo.
v) A concavidade da parábola é para baixo.
vi) O esboço da função seria uma parábola côncava para baixo, com vértice em
e passando pelo ponto
, sem interceptações reais com o eixo x.
Exercícios relacionados
Determine
em
, sendo
.
Uma grandeza exibe um decaimento exponencial se ela decresce a uma taxa diretamente proporcional ao seu valor.
(b) O carbono-14, um isótopo radioativo do carbono, tem meia-vida de 5770 anos. Qual é a sua constante de decaimento?
(b) O carbono-14, um isótopo radioativo do carbono, tem meia-vida de 5770 anos. Qual é a sua constante de decaimento?
Prove que se
for homogênea de grau
, então
Calcule as derivadas das seguintes funçöes: