Determine partial g / partial s em s=4, sendo g(x, y)=x^2-y^2, x=s^2+1, y=1-2 s.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais. A questão pede para encontrar a derivada de em relação a no ponto . Para isso, vamos utilizar o conteúdo de derivadas parciais e a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as funções envolvidas. Temos:
g(x, y) = x^2 - y^2
x = s^2 + 1
y = 1 - 2s
Aqui, é uma função de e , que por sua vez são funções de . Nosso objetivo é encontrar quando .

Passo 3

Para encontrar partial gpartial s = partial gpartial x cdot dxds + partial gpartial y cdot dyds , vamos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que, para funções compostas, a derivada total é a soma das derivadas parciais multiplicadas pelas derivadas das variáveis internas. Matemáticamente, isso fica assim:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas separadamente.

Passo 4

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de partial gpartial x = 2x em relação a partial gpartial y = -2y e dxds = dds(s^2 + 1) = 2s :
dyds = dds(1 - 2s) = -2
Em seguida, derivamos e em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da regra da cadeia:
partial gpartial s = (2x) cdot (2s) + (-2y) cdot (-2)
partial gpartial s = 4sx + 4y

Passo 6

Vamos agora substituir x = (4)^2 + 1 = 16 + 1 = 17 e calcular y = 1 - 2(4) = 1 - 8 = -7 e partial gpartial s = 4(4)(17) + 4(-7) nesse ponto:
partial gpartial s = 4 times 4 times 17 + 4 times (-7)
partial gpartial s = 272 - 28 = 244
Substituindo esses valores na expressão da derivada:

Resposta

A derivada de em relação a no ponto é .

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