Determine
em
, sendo
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais. A questão pede para encontrar a derivada de
em relação a
no ponto
. Para isso, vamos utilizar o conteúdo de derivadas parciais e a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as funções envolvidas. Temos:
Aqui,
é uma função de
e
, que por sua vez são funções de
. Nosso objetivo é encontrar
quando
.
Passo 3
Para encontrar
, vamos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que, para funções compostas, a derivada total é a soma das derivadas parciais multiplicadas pelas derivadas das variáveis internas. Matemáticamente, isso fica assim:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas separadamente.
Passo 4
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Em seguida, derivamos
e
em relação a
:
Passo 5
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da regra da cadeia:
Passo 6
Vamos agora substituir
e calcular
e
nesse ponto:
Substituindo esses valores na expressão da derivada:
Resposta
A derivada de
em relação a
no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Uma grandeza exibe um decaimento exponencial se ela decresce a uma taxa diretamente proporcional ao seu valor.
(b) O carbono-14, um isótopo radioativo do carbono, tem meia-vida de 5770 anos. Qual é a sua constante de decaimento?
(b) O carbono-14, um isótopo radioativo do carbono, tem meia-vida de 5770 anos. Qual é a sua constante de decaimento?
Para cada função abaixo, determine i) as raízes ou zeros da função, ii) os pontos de intercecção com os eixos x e y; iii) classifique se é crescente ou decrescente, e iV) faça o gráfico das funções:
Para cada função abaixo . Determine:
i)As raízes da função;
ii) As coordenadas dos vértices da função;
ii) O ponto de interceção com o eixo y;
iii) Se o valor da função é máximo ou minímo;
iv) a concavidade da parábola;
v) Esboce a função.
i)As raízes da função;
ii) As coordenadas dos vértices da função;
ii) O ponto de interceção com o eixo y;
iii) Se o valor da função é máximo ou minímo;
iv) a concavidade da parábola;
v) Esboce a função.
Prove que se
for homogênea de grau
, então